第4章_流体动力学微分形式的基本方程

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1、第4章流体动力学微分形式的基本方程4.1连续性方程与流函数4.2运动微分方程及有关概念4.3N－S方程组求解的分析4.4层流精确解举例4.5蠕动流方程4.6雷诺方程4.7欧拉方程及其积分4.1连续性方程与流函数1.连续性方程（1）方程的推导液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程依据质量守恒定律：x向质量净通率：y、z向质量净通率分别为：和体积内的质量减少率：则有：除以体积ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得到直角坐标下的连续性方程：或或柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：对于不可压缩流体

2、：（2）方程的简化对于恒定流动：（3）连续性方程的应用判别流动能否发生。求解某一未知速度分量。与运动微分方程联立求解。2.流函数ψ(1)定义二维不可压缩流体连续性方程为：当定义和，连续性方程自然满足。称ψ为流函数。(2)物理意义常数时，则得到不同流线。为流线，当取不同两条流线的流函数数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量。公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且，引入ψ后可将求ux，uy的问题化为求ψ的问题。4.2运动微分方程1.应力形式的运动微分方程（1）运动流体一点处的应力状态双

3、下标含义：第一个下标：作用面的外法线方向，第二个下标：应力的方向。正的应力：正面、正力或负面、负力。负的应力：正面、负力或负面、正力。依据牛顿第二定律。六面体流体元中心点M的坐标为x，y，z，应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。（2）方程的推导外力的x向分量Fx：质量力的x向分量：以x方向为例：表面力的x向分量：加速度的x向分量ax：质量m：除以ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得出同理可得y、z向方程。应力形式的运动微分方程为存在问题：方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。2.不可

4、压缩流体的应力与应变率关系3.纳维－斯托克斯方程（N－S方程）写成矢量形式：方程各项的含义：左端：惯性力右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力4.3N－S方程组求解的分析1.N－S方程组矢量式：分量式：给出定解条件初始条件边界条件理论上，方程组可解。2.N－S方程组的特点非线性二阶偏微分方程组一般情况下，N－S方程组难于求解。3.主要解法（1）层流精确解对于某些简单流动，非线性项为零，可求得精确解。例如：①平行平板间的二维恒定层流运动②斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动③等直径圆管恒定层流运动（2）近似解为什么要

5、求近似解？由于仅在少数简单流动情况下才能得到精确解，为此求近似解。仅在两种极端雷诺数情形下，通过略去N－S方程中的个别项，才能求得近似解。①小雷诺数流动－蠕动流Re<<1惯性力<<粘性力斯托克斯解：全部略去惯性力，得出斯托克斯阻力公式。奥森解：部分略去惯性力，得出奥森解。两个解成为低雷诺数流体动力学的基础。蠕动流的例子：小球在极粘流体中的沉降②大雷诺数流动Re>>1惯性力>>粘性力当全部略去粘性项，会出现什么样的结果呢？N－S方程组欧拉方程组（理想流体）计算结果不适用于固体壁面附近适用于远离固体壁面的流场为什么不适用于

6、固体壁面附近？计算结果与实际不符合：边界条件不符合阻力规律不符合流型不符合1904年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广大流场划分为边界层和外流区，分别用边界层理论和势流理论求解。（3）数值解属于计算流体力学范畴。（4）实验解属于实验流体力学范畴。4.4层流精确解举例1.平行平板间的二维恒定层流运动重力作用下的两无限宽水平平行平板间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。平板间距为a，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，上板沿x方向移动的速度U为常量，试求平板间流体的速度分布。求解步骤：绘图并选取坐标系及坐标取向。依据题中条

7、件，简化N－S方程组。依据题意，给出边界条件。解方程组。（1）选直角坐标系取x轴沿下板，z轴垂直于平板。（2）简化N－S方程组①由二维流动可知uy＝0，且各量与y无关；②由流体作平行于x轴的流动，可知uz＝0，故仅有ux；③由恒定流可知；④由不可压缩流体的连续性方程和即ux仅是z的函数；可知和⑤由重力场可知单位质量力即X=Y=0，Z=-g。于是N－S方程组简化为（1）（2）（3）边界条件z＝0，ux＝0；z＝a，ux＝U（3）（4）（4）解方程组先解（2）式，得（5）求得（6）表明与z无关，对z积分解（1）式时，

8、可作为常量看待。对（1）式积分二次得到则流速分布为利用边界条件（3）、（4）求得（8）（7）（5）讨论①当，得出，为科耶特流动。，为泊肃叶流动。②当得出U=0最大流速：单宽流量:断面平均流速与最大流速之比：断面平均流速：2.斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动重力作用下的无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运