流体动力学微分形式基本方程

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1、流体力学顾伯勤主编研究生教材退出中国科学文化出版社第二篇流体动力学基本原理及流体工程流体动力学微分形式基本方程流体动力学积分形式基本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论流体绕过物体的流动气体动力学基础第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第五章流体动力学微分形式基本方程连续性方程理想流体运动方程实际流体运动方程第一节第二节第三节退出返回流体运动须遵循物质运动的某些普遍规律，如质量、动量和能量守恒定律。这些普遍规律应用于流体运动就可得到联系流体速度、密度、压力、温度

2、等参数之间的关系式，这些关系式称为流体动力学的基本方程。基本方程可以对微元体建立，得到微分形式的基本方程；也可以对控制体建立，通过对控制体和控制面的积分而得到流体参数间的积分关系式。求解微分形式基本方程或求解对微元控制体建立的积分形式的基本方程，可以给出流场细节，即空间各点上压力、温度、速度、密度等流体参数的分布。本章讨论微分形式的基本方程。第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第1页第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第2页图5.1正六面体流体微团xzydydxdzwxdydzo在研究流体运动

3、时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。一、笛卡儿坐标系统的连续性方程在流场中取一六面体微团，其边长为，，（图5.1）。沿方向在单位时间内流入六面体的流体质量为沿方向在单位时间内流出六面体的流体沿方向在单位时间内净流出质量为六面体的流体质量为第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第3页同理可得：沿方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为沿方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为

4、单位时间内净流出整个六面体的流体质量为另外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。设在时刻流体密度为时刻流体密度为，则在单位时间内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为，第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第4页根据连续流动原理，净流出六面体的流体质量与六面体中流体的增加量之和为零，六面体中流体的质量是不变的，即式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到（5.1）则连续性方程也可写成写成向量形式（5.3）（5.3a）或（5.2）第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连

5、续性方程第5页对于稳定流动，，于是式（5.1）变为即（5.4a）（5.4）对于不可压缩流体，为常数，则连续性方程为（5.5）（5.5a）即第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第6页o图5.2扇形六面体流体微团zArBdrDCdzdr二、圆柱坐标系统的连续性方程在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流体微团ABCD，如图5.2所示。单位时间内流入AB、BC、CA面的流体质量分别为，，单位时间内流出CD、DA、BD面的流体质量分别为，，第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第一节连续性方程第7页单位时间内

6、，微团中净流出的流体质量为由于微团中流体密度增加而使微团中增加的流体质量为根据连续性原理，微团中流体质量的总变化应等于零，所以此即圆柱坐标系统的连续性方程。（5.6）对于不可压缩流体，为常数，连续性方程为（5.7）第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第二节理想流体运动方程第1页图5.3流体微团在x方向所受的力xzydydxdzpdydzXo运动方程描述流体在运动中所受的力与流动参量之间的关系。理想流体是指无粘性的流体。工程实践中的流体都是具有粘性的，它们并不是理想的流体，但在很多情况下，流体的粘性力和其他力比起来作

7、用很小，因而可视为理想流体。一、理想流体运动方程的建立建立运动方程的基础是牛顿第二运动定律。在理想流体流场中取出一微小六面体微团。微团所受的力有表面力（压力）和体积力（质量力）。六面体在轴方向上所受的表面力和单位质量的体积力如图5.3所示。设单位质量的体积力为X、Y、Z，则在轴方向根据牛顿第二运动定律应有第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第2页化简得、轴方向力的平衡关系式，于是有同理可推导得到（5.8）第二节理想流体运动方程第五章流体动力学微分形式基本方程退出返回第3页式中，称为单位质量的体积力矢量。（5.8a）

8、（5.8）式就是理想流体的运动方程，它是欧拉于1755年提出的，故又称欧拉运动方程。它给出了压力、体积力与惯性力的关系。对于给定的流体（密度已知，或者已知压力与密度的关系，例如气体方程），在已知体积力场（即X、Y、Z已知）内，根据此式和连续性方程进行积分，可解出任意时刻t，流场中任意位置（x，y，z）的p，wx，wy，wz。但是实