差分方程组稳定性理论若干定理的推广_徐润

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1、第30卷第3期河南师范大学学报(自然科学版)Vol.30No.32002年8月JournalofHenanNormalUniversity(NaturalScience)Aug.2002文章编号:1000-2367(2002)03-0015-03①差分方程组稳定性理论若干定理的推广12徐润,任安忠(1.曲阜师范大学数学系,山东曲阜,273165;2.三门峡职业技术学院,河南三门峡,472000)摘要:本文在文献[1]～[3]的基础上,对Liapunov函数V(f,x)的限制作了改进,推广了扰动微分方程零解稳定性的若干判定定理.关键词:稳定;一致稳定;全局渐近稳

2、定中图分类号:O175.5文献标识码:A研究差分方程组:x(f+1)=f(f,x(f)),f(f,0)=0,(1.1)nn其中f:Ii×R→R,f(f,x)关于x连续,(i=1,2)I1=t0+K,K=1,2,…},0≤

3、x

4、≤H,(1.2)I2=K,K=0,1,2,…,0≤

5、x

6、<+∞,(1.3)nnx0∈R,t0≥0,(1.1)的解x(f,t0,x0)存在且唯一,R=[0,+∞),总假设x(f)=0是(1.1)的解.在文献[1]中,差分方程组稳定性定理要求Liapunov函数ΔV(f,x)

7、(1.1)负定等条件,但这些条件较强,现在关于差分方程组的稳定性还

8、没有一些推广的结果,本文将稳定性理论基本定理中的函数V(f,x)的限制放宽,使ΔV(f,x)不必满足负定的条件,也可得到相应的结论.引理1若:ΔV(f,x)≤g(f)+h(f)V(f,x),g(f),h(f)非负,则有:f-1f-1f-1V(f,x)≤V(t0,x0)Π(1+h(t))+∑g(t)Π(1+h(k))t=tk=t+10t=t0证明:由ΔV(f,x)≤g(f)+h(f)V(f,x)得:V(f+1,x)≤g(f)+(1+h(f))V(f,x)考虑差分方程:u(f+1)=g(f)+(1+h(f))u(f)此方程为线性非齐次差分方程,由常数变易法(见文献

9、[1])得:f-1f-1f-1u(f)=u(t0)Π(1+h(t))+∑g(t)Π(1+h(k))t=tk=t+10t=t0由比较定理可知引理1的结论成立.定理1若在域(1.2)上存在函数V(f,x),满足:(1)V(f,x)-θ(f,x)w(x)常正,其中w(x)正定,θ(f,x)连续且θ(f,x)≥1;+∞+∞(2)ΔV(f,x)

10、(1.1)≤g(f)+h(f)V(f,x),其中:g(f),h(f)非负,∑f=tg(f)收敛,Πf=0[1+h(f)]0有界,则方程(1.1)的零解稳定.证明:因为w(x)正定,故存在h∈K,使得:w(x)≥h(‖x‖).由条

11、件(1)得:①收稿日期:2002-02-22.基金项目:山东省自然科学基金(编号:Q97A05116)及曲阜师范大学校基金(2001)资助项目.第1作者简介:徐润(1966～),女,山东兖州人,曲阜师范大学副教授.16河南师范大学学报(自然科学版)2002年V(f,x)≥θ(f,x)w(x)≥w(x)≥h(‖x‖).+∞由条件(2),可设:Πf=0[1+h(f)]≤M,(M>0),X>0,对h(X)>0,又由条件(2)可知:存在T≥t0,使:+∞1∑g(f)

12、存在W1>0,当‖x(T,t0,x0)‖0,当‖x0‖

13、x(f,t0,x0)‖

14、(1.1)≤g(f)+h(f)V(f,x),其中:g(f),h(f)非负,∑f=tg(f)收敛,Πf=0[1+h(f)]0有界,则系统(1.1)的零解全局渐近稳定.n证明:由定理1,(1.1)的零解稳定.下证:x0∈R,t0∈I2,总有:‖

15、x(f,t0,x0)‖→0(f→+∞)