小波分析及其在地球物理学中的应用

《小波分析及其在地球物理学中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、小波分析及其在地球物理学中的应用一、引言曾经听过刘光鼎先生说过，地球物理学是地球科学中高科技，上天入地无所不能。当时我就在想，这高科技到底体现在哪呢？难道只能说是其本身专业的优势吗，应该不止如此吧。之所以能称之为高科技，就是相当多的高深的数学与物理的知识，还有计算机的引入。记得近代物理课的老师曾经说过，我们学物理课的最初动机，就是能把最先进的物理知识应用到专业课的学习中，数学的学习也应该是这样的吧。地球物理方法是研究地壳深部构造有力且可靠的工具,其中重磁方法所取得的位场资料是研究地质构造、岩石圈结构和矿产勘查的重要基础性资料川。

2、多年来,位场资料处理的主要工具仍是Fourier分析,而面对非平稳的位场资料时,Fourier分析已突显其局限性。近年来引人位场的小波分析是源于Fourier分析而又胜于Fourier分析,有“数学显微镜”之称。小波分析因其具有自适应性和多尺度分析特性成为位场数据处理的有力工具。位场领域的小波方法研究经历十余年,且取得了诸多研究成果,主要应用于位场多尺度分解、重磁异常奇异性检测、位场反演等方面[1]。本文先介绍最近20年才发展起来的数学分支——小波分析，接着介绍小波分析在地球物理学中的应用，把最先进的数学方法引入地球物理学中，这

3、才是地球物理学的高科技之处。二、小波简介1、小波发展历史众所周知,傅里叶分析从19世纪初、中期到今,在数理科学一直享有盛誉,它为信号分析、量子力学、声学、电学、数理方程、图像处理、地球物理等许多学科领域提供了科学的分析方法和强有力的工具。然而,在应用中人们不断地发现了它的不足之处,它不能刻划函数所在的空间L୮,即e୧ன୶并不是L୮的无条件基，它只能获得f的整体频谱,而不能获得信号的局部特性,即它不能用于局部分[1]。近几年来,一种被称为小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起一场轩然大波，小波变换综合了三角函数系与Haar系两

4、者的优点,用小波基来分解任意函数,它具有优良的“变焦”性能;小波分析是一个新的现代分析学如泛函分析、数值分析、Fourier分析、样条分析等的完善结晶,被誉称为“数学显微镜”,它是一种窗口大小不变但形状可变的时频局部化分析方法。小波变换克服了上述Fourier变换存在的问题，能将各种交织在一起的不同频率的混合信号分解成不同频率的块信号,因而能有效地用于如信噪分离、编码解码、奇异性检测、压缩数据、识别模式以及将非线性问题线性化、非平稳过程平稳化等问[2]，这已成为应用数学的新趋势。小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的

5、提出,最早应属1910年Haar提出的规范正交基,但当时并没有出现“小波”这个词。1936年Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论,对频率按二进制进行划分,其傅立叶变换的相位变化并不影响函数的大小,这是多尺度分析思想的最早来源。1946年Gabor提出的加窗傅立叶变换或称短时傅立叶变换对弥补傅立叶变换的不足起到了一定的作用。后来,Calderon、Zgymund、Stem等将L一P理论推广到高维,并建立了奇异积分算子理论。1965年Calderon发现了再生核公式,它的离散形式已接近小波展开,只

6、是还无法得到一个正交系的结论。1981年,Stormberg对haar系进行了改进,证明了小波函数的存在性。1982年Battle在构造量子场论中采用了再生核公式的展开形式。1984年,法国地球物理学家J.Morlet在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展开,他与A.Grossman共同研究,发展了连续小波变换的几何体系。1985年,法国的大数学家Meyer首先提出了光滑的小波正交基。1985年,Meyer及其学生提出了多尺度分析的思想。1987年Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引人到小波分析中

7、,提出了多分辨分析的概念，统一了在此之前的所有正交小波基的构造，并提出了相应的分解与重构快速算法。1988年,年轻的女数学家DaubechiesI.提出了具有紧支集的光滑正交小波基——Daubechies基,，为小波的应用研究增添了催化剂。同年，DaubechiesI.在美国主办的小波专题讨论会上进行了次演讲,引起了广大数学家、物理学家甚至某些企业家的重视,由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。2、小波分析原理“小波”就是小的波形，所谓“小”是指它具有衰减性,如局部非零的;而称之为“波”则是指它的波动性,即振幅呈正负相间的城

8、荡形式。小波分析（WaveletAnalysis）是一种具有自适应性窗口函数可对信号进行时频两域局部化分析的方法。小波分析是Fourier分析划时代发展的结果，1822年法国数学家傅里叶(J.Fourier1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析