小波变换课件ch1小波分析及其在信号处理中的应用

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1、小波分析及其在信号处理中的应用教材&参考书教材：小波分析及其在信号处理中的应用，王大凯，彭进业编著，电子工业出版社1、小波分析导论，程正兴译，【美】崔锦泰著，西安交通大学出版社出版。2、小波分析与工程应用，杨建国，机械工业出版社。3、信号处理的小波导引，StephaneMallat著，杨力华，戴道清，黄文良，湛秋辉译，机械工业出版社。4、Matlab小波分析与工程应用，张德丰，国防工业出版社要求了解小波变换与傅立叶变换的区别理解掌握基本的小波变换理论。理解多分辨率分析的基本思想，了解正交小波的基本性质，掌握构造正交小波的基本方法。掌握塔式分解算法；了解双正交小波的基本性质，掌握其构造

2、的方法，分解和重构的相关理论和方法；了解小波变换的信号处理领域内的应用；利用MATLAB编程实现小波的构造和简单应用仿真等。课程安排36学时：1、引论2、小波变换3、多分辨率分析与正交小波的构造4、塔式算法及二维小波5、双正交小波6、DWT在图像编码中的应用授课形式课本内容Matlab小波分析工具论文学习与仿真分小组自由讨论、实现、讲述考察方式读书报告课堂表现课后作业期中大作业期末大作业第1章引论从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，是在能量有限空间L2(R)（实数域平方可积空间）上满足容许条件（P24式2.1.1）的函数，这样认识小波需要函数空间（泛函分析）的基础知识

3、。从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数等的基础知识。泛函分析是20世纪初开始发展起来的一个重要的数学分支，它是以集合论为基础的现代分析手段，它用更加抽象的概念来描述熟知的对象。傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号分析从时间域变换到了频率域。泛函简介泛函就是以函数为自变量的函数.泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（

4、如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。比如曲线的长度,闭合曲线围成的面积等都和曲线的函数是一种泛函关系.设对于任何y(x),有另一个数J[y]与之对应,则称J[y]为y(x)的泛函.这里的定义域,即函数集合,通常包含要求y(x)满足的一定边界条件,并且具有连续的二阶导数.泛函和复合函数不同,泛函必须给出区间上整个函数y(x),才可以得到一个泛函值.泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的

5、几何对象，也包括了不同的函数空间。1.1函数空间1.1.1线性空间一个线性空间是一个在标量域（实或复）F上的非空矢量集合L，并且对于其元素定义了如下性质的加法和标量乘法：加法的封闭性；加法的交换律；加法的结合律；零元；加逆；乘法的封闭性；乘法结合律；存在单位标量1，1·x＝x；乘法的分配律。1.1.2线性空间的范数在一个线性空间L中的泛函p(x),如果满足（1）非负性，零元的函数值为零的唯一性；（2）正齐次性；（3）三角不等式则称p(x)为L的范数物理意义：元素x到0的距离，泛函就是以函数为自变量的函数1.1.3Euclidean空间如果对于线性空间Ｌ的每一对元素定义了如下性质的内积

6、：那么称Ｌ是一个Euclidean空间(赋范空间)。这时它的范数定义为1.1.4Hilbert空间一个完备的可分离的无限维Euclidean空间称为一个Hilbert空间,记为H.测度（度量）：设X是一个集合，映射称为X上的一个度量，如果处处稠密：设A和B为度量空间的子集，如果有，称A在B中稠密；如果有，称A在B中处处稠密。例：实数集R按照度量是一个度量空间，是有理数集。因为所以G在R中处处稠密。A的闭包1.1.5平方可积空间与平方可和空间如果将Euclidean空间中的内积定义具体化为则称以满足的f(x)为元素的线性空间为平方可积空间，记为。平方可积空间是Hilbert空间希腊字母

7、：kai若内积定义为式中c为一序列，则称以满足的序列为元素的线性空间为平方可和空间，记为。1.1.6Schwartz（施瓦茨）不等式证明：过程见p3.用到的理论：1、内积的性质2、判别式的性质1.1.7绝对可积空间与绝对可和空间若定义则称以满足<∞的f为元素的线性空间为绝对可积空间，记为。类似可定义绝对可和空间。平方可积不一定绝对可积例：考察函数1.2L2(R)空间的基函数1.2.1正交基信号的分解与重构f(x)cn分解重构信号分解系数基函数的对偶完全重构