小波变换及其在一维滤波中的应用

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1、第卷第期石油物探】年月口小波变换及其在一维滤波中的应用朱光明高静怀王玉贵西安地质学院,西安摘本文叙述了小波变换的定义,分析了其性质从小波变换的常见定义,在附录中给出式得到声音变换了反变换公式的证明文中讨论了将小波变换用于各种一维滤波的原理及实现方法,给出了模型及实际资料试算实例,证明了本方法的可行性及优点关键词小波变换声音变换一维滤波一、引言窗口傅里叶变换是数字信号处理的重要工具,在信号数字处理中得到了非常普遍的应用我的知道,窗口傅里叶变换的一个重要特征是,时间域和频率域的采样间隔都是常数但是在处理某些

2、问题时,我们希望时间域采样间隔随着频率的增高而减小。为了达到这个目的,,等人对窗口傅里叶变换作了改造保持对时间变量的平移,而把对频率变量的平移改为伸缩对窗函数附加一些条件,利用这个函数称为小波函数的平移和伸缩构造一组基,对信号进行分解后来,等人使用的方法被从数学上发展为一种理论。小波变换不仅在纯数学上占有重要地位,而且在其它领域也得到了比较多的应用,并取,,得了好的效果例如图象处理八皿语音信号识别,一,奇异性检,,一一等测等,探讨本文仅讨论连续小波变换阐明了小波变换和声音变换的定义和性质了小波变换的物理

3、意义,以函数为例实现了函数的小波变换分解和重建,分析了用小波变换作一维滤波的原理和方法,给出了数值算例沪声二、理论小波变换的定义设为一实信号,〔双,相对于的小波变换定义为,。。,一,、,、雀一气—气口,。。,’这里‘表示对取复共“称为小波定义一‘,·,用“,中的内积利岩©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net石油物探卷定义,式又可以写成,一,。·、、,它对应于

4、在小波基一上的分解利用。的傅里叶变换宫“武“式可写成力,·卜二“。可⋯赢,这里函数的傅里叶变换定义为“山,一,、一君,佃渝丁浑叹君召令岛卜,式可写成下面褶积形式,。箩万。一各,一、这里口习—式表明,函数的小波变换可理解为对的带通滤波,滤波器的脉冲响应为百。声音变换。声音,。变换实际上也是一种小波变换它的重建公式具有非常简单的形式相对于的声音变换,,定义为‘月,。一,,、,。户一口一、尸,拱‘、“’一吸犷万—,一“,一,这里对尺度因子使用对数坐标令并设烈注意到是对应,不同采样点上的时间我们有,。一·,“一

5、众为,了能蛇建我们要求的傅里叶变换为实数且满足‘寸厄万厂面几气一二尸二几田十仪〕一上”—。。。。,且烈。在。一这个条件要求萝佃附近足够小式的另一种表达式为‘,。一‘。‘一“宫。了田。声音变换的反变换公式为八产、一,一一如果积分区间能分解成长度,“’为的间隔我们能把分解成倍频程序列©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第期小波变换及其在一维滤波中的应用,艺这里

6、一,、一下厂洲叹,封少““月人甲月附录中给出了反变换式的一种证明。由式可见,重建实信号时,有贡献的应是写,的实部由褶积的线性性质推知,用声音变换滤波时,滤波效果取决于试的实部的性质因此,下面讨论小波变换性质时,我们重点讨论为实数的情况小波变换的性质口,比较小波变换与窗傅里叶变换定义参见可知二者都具有局部化性质,但由于二者的定义不同,性质也有差别如窗口傅里叶变换在时域和频域的分辨率是常数而小波变换在时域和频域的分辨率与尺度因子或称为伸缩因子密切相关当是实函数时,烈。烈一。,。。表示带通滤波器官的中心频率,

7、即让‘山,“,佃,”“山一万一口。,。为以,为中心的均方根带宽则令。一‘田。’。’‘。一“‘,,,。,。。。。。。。很容易证明带通滤波器萝的中心为且均方根带宽为在对数坐标系,“。田。,上对所有,萝的均方根带宽是相同的因此小波变换把信号分解成很多频道也称频带,在对数坐标系上它们有相同的宽度。。令为以零为中心的均方根带兔公宽,易证一能量集中在,带宽为。。。,队月,在频率域中能量集中在带宽“。。,“为。在相空间时间频率域这个一一。,小波的分辨率单元为。。日欺焦。。卜。。,。。。,如图一,,所示当较大时,时间分

8、辨率低而频率坦武上⋯耸‘,峋〔三三三三三三理上云三三二已分辨率高当减小时时间分辨率增加而姚频率分辨率降低。这些性质是小波变换应用。的理论基础小波变换的其它性质见文献图在时间一频率域中小波分辨率单元〔,〕〔〕等的形状与尺度因子的关系,一©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net·石油物探卷一‘目一一一