数学人教版九年级上册探讨三个“二次”之间的关系

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1、课题：探讨三个“二次”之间的关系【教学目标】1．通过学习使学生认识到一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系。2、通过探讨对三个“二次”之间的关系，使学生认识到在实际应用中既可以用方程或不等式取研究函数，也可以用函数观点去研究方程或不等式，三者之间相辅相成。【教学重点、难点】重点：一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系；难点：一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的实际应用。【教学方法】启发式讲授法【教学过程】一、概念梳理1、三个“二次”是指：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）；一元二次不等式ax

2、2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)。2、三个“二次”之间的关系：从直观上看，三者研究的重点是不同的：函数是研究某一变化过程中，变量x与变量y之间的对应关系；方程是研究已知数与未知数之间的相等关系；不等式是研究已知数与未知数之间的不等关系。实际上，三者又是紧密联系，可以相互转化：由方程可以转化为函数，如方程y-kx-b=0(k≠0)可以转化为一次函数y=kx+b；由函数转化为方程，如一次函数y=2x-3，可以转化为二元一次方程2x-y=3。从图象上看，三者更是密不可分的：函数研究的某一变化过程的全过程，就是在自变量取值范围内，变量x与变量y之间的对应关系；方

3、程是研究图象与x轴交点的横坐标，可以理解为变化过程中的一瞬间(即使函数y的值等于0的x值）；不等式是研究在什么条件下，图象位于x轴上方或位于x轴下方的问题。二、温故知新1、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是。2、抛物线y=x2-4x+4与x轴有个交点，交点坐标是。3、抛物线y=x2-2x+m，若其顶点在x轴上，则m=。4、抛物线y=x2-2mx-1与x轴的交点个数是（）A、2个B、1个C、0个D、不能确定5、竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系：h=-5t2+v0t+h0，其中h0(m

4、)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度。一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示根据图象，回答下列问题：⑴写出h和t的关系式；⑵抛出后小球到达的最大高度；⑶小球经过多少秒后落地?三、活动探究1、一元二次方程x2-4x+3=1的根与二次函数y=x2-4x+3的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。2、如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=

5、-x2+2x+3(x﹥0)。柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素,水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？3、已知：二次函数y=ax2+bx+c，其中a<0，b>0，c>0,试描述该二次函数的大致图象，并自取a、b、c的值，完成下列问题：⑴写出给定函数的关系式；⑵画出给定函数的图象；⑶写出给定抛物线的对称轴和顶点坐标；⑷当x取何值时，y随x的增大而减小？⑸给定方程ax2+bx+c=0的解；⑹给定不等式ax2+bx+c>0的解集；⑺给定不等式ax2+bx+c<1的解集。四、拓展升华例：k取何值时，方程x2+4x+4k-k2=0的一个根大于3，另一个根小于

6、3？五、课后寄语通过学习二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，我们充分感受到“数形结合”这一重要的数学思想方法。同时也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘。六、课后作业练习册第63页7、8、9、10题。