《种坐标系与场》PPT课件

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1、第一章三种坐标系与场1本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理21.标量和矢量矢量的大小或模：矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示注意：单位矢量不一定是常矢量。矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。3矢量用坐标分量表示zxy4（1）矢量的加减法两

2、矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律5（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）q矢量与的夹角是在方向上的分量，有6——矢量的标积符合交换律（4）矢量的矢积（叉积）两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之间夹角的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，用单位矢量表示。7qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则8（5）矢量的混合运算——分配律——分配律——标量三重积——矢

3、量三重积9三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。101.直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量11图1-1直角坐标系xyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydx122.圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量13图1-3圆柱坐标系图1-4圆柱坐标系中的单位矢

4、量、长度元、面积元和体积元143.球坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系（半平面）（圆锥面）（球面）154.三种坐标系之间的转换4.1三种坐标系坐标变量之间的转换（1）直角坐标系与圆柱坐标系的坐标变量之间的转换（2）直角坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换16（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换4.2三种坐标系的单位矢量之间的转换（1）直角坐标系与圆柱坐标系单位矢量之间的转换17图1-8直角坐标系和圆柱坐标系中的坐标单位矢量及其关系18用图表表示为：19（2）圆柱坐标与球坐标系单位矢量之间

5、的转换用图表表示为：20图1-9圆柱坐标系和球坐标系的坐标单位矢量及其关系210（3）直角坐标系和球坐标系之间单位矢量的转换，可根据上面的推导得出，用图表表示如下。-221.3场及场的特性1场的概念“场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。例如，温度场是标量场，电场、磁场、流速场与重力场都是矢量场。232力线方程图1-11力线图设P点处的位置矢量：设P点处切线微分方程为设P点场量24因则得25P点处场量为的力线微分方程为261.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：

6、温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：27标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地

7、描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值线(面)282.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：——u(M)沿方向增加；——u(M)沿方向减小；——u(M)沿方向无变化。M0M方向导数的概念特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。式中：293.标量场的梯度（或）标量场在空间某一点沿不同方向的变化率是不同的，在某个方向上的变化率可能最大，为此引入梯度的概念，用它来说明标量场的最大变化率和达到最大变化率的特定方向。也就是说，标量场u在点M处的梯度是一个矢量，其大小等于最大

8、变化率，其方向是标量场u变化最大的方向。梯度可表示为30其中31圆