高等数学(同济大学)课件下第12_3齐次方程

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1、三、环流量与旋度斯托克斯公式环流量与旋度第七节一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件*四、向量微分算子机动目录上页下页返回结束第十章一、斯托克斯(Stokes)公式定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有简介目录上页下页返回结束则(利用格林公式)定理1目录上页下页返回结束因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目录上页下页返回结束情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个

2、,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1目录上页下页返回结束为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1目录上页下页返回结束例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性机动目录上页下页返回结束例2.为柱面与平

3、面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式目录上页下页返回结束*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有机动目录上页下页返回结束证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则定理2目录上页下页返回结束同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕定理2目录上页下页返回

4、结束与路径无关,并求函数解:令积分与路径无关,因此例3.验证曲线积分定理2目录上页下页返回结束三、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为机动目录上页下页返回结束令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.机动目录上页下页返回结束rotation设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:机动目录上页下页返回结束向量场A产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成

5、右手系!为向量场A沿的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.机动目录上页下页返回结束的外法向量,计算解:例5.设机动目录上页下页返回结束*四、向量微分算子定义向量微分算子:它又称为▽(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.则机动目录上页下页返回结束则高斯公式与斯托克斯公式可写成:机动目录上页下页返回结束内容小结1.斯托克斯公式机动目录上页下页返回结束在内与路径无关在内处处有在内处处有2.空间曲线积分与路径无关的充要条件设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则机动目录上页下

6、页返回结束3.场论中的三个重要概念设梯度:机动目录上页下页返回结束散度:旋度:则思考与练习则提示:三式相加即得机动目录上页下页返回结束作业P1831(1),(3),(4);2(1),(3);3(1);4(2);6补充题:证明习题课目录上页下页返回结束斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后

7、分五卷出版.机动目录上页下页返回结束