高等数学常系数齐次线性微分方程

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1、常系数第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.猜想有特解特征方程2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特

2、解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为特征方程3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为欧拉公式不是常数小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.-----特征方程法例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例3解特征方程为解得故所求通解为n阶常系数齐次线性方程解法特征方程

3、为特征方程的根通解中的对应项推广：单实根r一对单复根注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数.实重根复单根复重根实单根几种情况每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解例6.解:特征方程:特征根为则方程通解:内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.求以为通解的微分

4、方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为练习：作业P2221(1),(2),(4);2(1)思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第八节