常系数齐次线性微分方程(VIII)

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1、常系数第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.特征方程2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为特征方程3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方

2、程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例3.解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0

3、时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为由第六节例1(P323)知,位移满足方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况(n=0)解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:nk临界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.大阻

4、尼解的特征:(n>k)1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;此图参数:例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解例6.解:特征方程:即其根为方程通解:例7.解:特征方程:特征根为则方程通解:内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高

5、阶常系数线性齐次方程求通解.思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为作业P3401(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第八节备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为