7.7常系数齐次线性微分方程

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1、第七章山东交通学院高等数学教研室第七节常系数齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.二阶常系数齐次线性微分方程:特征方程2.当则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为时,特征方程有两个相等实根特征方程3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠

2、加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为综上所述:特征方程:实根以上结论可推广到高阶常系数齐次线性微分方程.特征根通解对应特解特征根的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例3.求方程练习7-71.（1）（4）（5）（1）解:特征方程特征根:因此原方程的通解为练习7-71.（1）（4）（5）（4）解:特征方程特征根:因此原方程的通解为（5）解:特征方程特征根:因此原方程的通解为(1)单实根r对应特解

3、3.写出特征根对应的特解:1.写出特征方程:二、2.求出特征根:(3)k重实根r对应k个特解:4.写出通解.(2)一对单复根对应两个特解:(4)k重复根对应2k个特解:例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解解:特征方程:特征根为则方程通解:例6.内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第八节备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特

4、征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.