常系数齐次线性微分方程(IV)

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1、1二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程解法小结思考题作业n阶常系数齐次线性方程解法5.7常系数齐次线性微分方程齐次常系数常系数齐次常系数齐次常系数齐次第5章微分方程2方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数齐次线性一、定义3-----特征方程法将其代入方程,故有特征根二阶设解得特征方程常系数齐次线性方程(characteristicequation)(characteristicroot)二、二阶常系数齐次线性方程解法其中r为待定常数.4※两个特解的通解的不同形式.有两个不相等的实根特征根r的不同情况决定了方程特征方程常数线性无关的得齐次方程的通解为设

2、解其中r为待定常数.5※有两个相等的实根一特解为化简得设取则知得齐次方程的通解为其中r为待定常数.设解其中u(x)为待定函数.6※有一对共轭复根为了得到实数形式的解,重新组合的两个线性无关的解.其中r为待定常数.用欧拉(Euler)公式:设解常数得齐次方程的通解为7称为解特征方程故所求通解为例由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法特征方程法.特征根8解特征方程故所求通解为例特征根得齐次方程的通解为9例解初值问题解特征方程特征根所以方程的通解为(二重根)特解10考研数学(二)选择,4分函数练习满足的一个微分方程是定理5.3与(2)对应的齐次方程(2)的

3、通解.的通解,是二阶非齐次线性微分方程11考研数学(一)填空,3分练习(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则微分方程为解由所给通解的表达式知,是所求由微分方程的特征方程的根,于是特征方程为故所求微分方程为12特征方程特征方程的根通解中的对应项三、n阶常系数齐次线性方程解法若是k重根r若是k重共轭复根n阶线性微分方程常系数形如13注意一个根都对应着通解中的一项,n次代数方程有n个根,而特征方程的每且每一项各一个任意常数.14例求方程解的通解.特征方程故所求通解为特征根即和15特征根故所求通解解特征方程例对应的特解(单根)(二重)共轭复根1

4、6(1)写出相应的特征方程(2)求出特征根四、小结二阶常系数齐次线性方程特征根的情况通解的表达式实根实根复根求通解的步骤:(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解17思考题求微分方程的通解.18思考题解答令则特征根求微分方程的通解.特征方程?二阶常系数齐次线性方程通解此方程属于设所以所以因为所以所以19作业习题5.7(186页）