高等数学B教学课件：线性齐次及非齐次方程的解法 .ppt

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1、14.4.1高阶线性微分方程解的结构一、线性齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构2n阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程.时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y4证毕一、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.5说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.6定义:是定义在区间I

2、上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数7两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数10定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为11二、线性

3、非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①12是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.13定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.14定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解15例3.已

4、知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三作业习题五（P230）1（1）（3）（5）；4；6（2）。18常系数4.4.2线性微分方程第十二章一、求解常系数线性齐次微分方程二、求解常系数线性齐次微分方程19一、二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.202.当

5、时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为213.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为22小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.23例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为24若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r

6、,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:25例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例4.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解26例5.解:特征方程:即其根为方程通解:27例6.解:特征方程:特征根为则方程通解:28内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.29思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为作业习题六（P241）1（2）（4）（5）（7）；2（2）；3（1）；4；6(提示：)。31

7、二.常系数非齐次线性微分方程1、2、第十二章32二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法，常数变异法331、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式34(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①

8、,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解35例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为36例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为37例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代