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时间：2019-06-21
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1、一阶微分方程第二节一、可分离变量方程二、齐次型微分方程三、可化为齐次型的微分方程四、一阶线性微分方程第十二章二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C为任意常数)例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.可得OMA=OAM=例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x
2、,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)顶到底的距离为h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得(h,k为待三、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程例4.求解解:令得再令Y＝X
3、u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:
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