高等数学上78常系数非齐次线性微分方程

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1、第八节常系数非齐次线性微分方程一、型二、型三、小结二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、型二阶常系数非齐次线性方程一、型对应齐次方程设非齐方程特解为代入原方程分析：二阶常系数非齐次线性方程一、型对应齐次方程设非齐方程特解为代入原方程分析：二阶常系数非齐次线性方程一、型对应齐次方程设非齐方程特解为代入原方程分析：综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.二阶常系数非齐次线性方程一、型对应齐次方程解二阶常系方程,所以设特解y*=b0x+b1.代入原方程得:－b0x－2b0－3b1=3x+1.

2、则b0=－1,b1=1/3.所以特解y*=－x+1/3.P342-1解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例2P343-2第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点共轭利用欧拉公式注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例3P345-3所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意例3.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为(课本方法)不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程

3、特解为原方程通解为（取虚部）练习例5设函数连续，且满足求解对积分方程两边求导再求导得初始条件为特征方程和特征根为由于自由项不是特征根，故设解得a=1/2再代入初始条件可得1.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为练习2.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为三、小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.作业：P347:1-(1)(3)(5)(7)(9

4、)；2-(2)(4)。思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题解答设的特解为的特解为则所求特解为特征根（重根）例4一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8m另一端离开钉子12m，分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间：（1）若不计钉子对链条所产生的摩擦力；（2）若摩擦力为1m长的链条的重量.解(1)以钉子处为原点,s轴竖直向下，设在t时刻，链条较长一段下垂sm，且设链条的密度均匀分布为，则向下拉链条下滑的作用力为方程的标准形式为特征方程及特征根为代入初始条件得即当s=20m时，链条全部滑下，需时同理可解得