学年论文-变量代换法的意义

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1、14数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义本科学年论文论文题目：变量代换法的意义院系：数学科学学院专业：信息与计算科学学号：姓名：指导教师：撰写学年：2010至2011学年二零一零年十二月1414数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义变量代换法的意义内容摘要本文就数学中的变量代换法进行讨论，在解不等式、解三角题、求极限和微积分计算中例举用不同的变量代换，使运算化简。关键词：变量代换不等式极限积分目录1414数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义一、用变量代换法解决不等式证明的意义……………………………3（一）三角代换法…………………………………………………….3（二）

2、增量代换法……………………………………………………..4二、变量代换发在解三角题中的意义…………………………………..5（一）整体设元代换………………………………………………….5（二）辅助式设元代换………………………………………………..6（三）构造数学模型设元代换………………………………………..7（四）将次设元代换………………………………………………….7三、倒数代换法在极限计算中的意义…………………………………..8四、变量代换法在积分计算中的意义…………………………………..9（一）变量代换法在不定积分计算中的意义……………………...91.第一换元法………………

3、…………………………………….92、第二换元法…………………………………………………..9（二）变量代换法在定积分计算中的意义……………………….10（三）变量代换法在无穷积分计算中的意义…………………….11（四）变量代换法在二重积分中的意义……………………….…11参考文献………………………………………………………………..14序言1414数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一,属于数学变换方法的一种,就是把将要解决而不易解决的问题先进行变量代换,使之转化。即通过变换问题中函数的自变量或因变量,化繁为简,化难为易,将未解决的问题

4、转化成已解决的问题。这种方法在求极限、积分计算、不等式证明以及解三角题中用的很多,几乎贯穿了高等数学的全部内容,具有灵活性和多样性的特点。一、用变量代换法解决不等式证明的意义在证明不等式的过程中使用变量代换法不仅能使证明简化，而且比较容易找到证明思路。下面采用例举法利用常用的两种代换：三角代换法和增量代换法来说明变量代换法的意义。（一）三角代换法有些量采用三角函数代换后，可以充分利用三角函数间的特有关系（相等或不相等），把一个较难的问题简单化或一般化，使不等式得到证明。例1已知，求证：证明：因，故均为正数，又，故设代入原不等式即有：.这是一个显然成立的不等式，从而不等式得证

5、。例2设a、b，求证：证明：设，则可令：则原不等式等价于：，整理得1414数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义即这是一个显然成立的不等式，从而不等式得证。例3对于任何数a、b，证明不等式：成立证明：当a、b均为零时，不等式显然成立当时，设，令则原不等式化为化简，整理得等价于亦等价于这显然是一个成立的不等式，从而不等式得证。通过以上例题可以看出看似复杂无从下手的不等式证明题，利用三角代换巧妙地将问题转换为特殊的三角关系，从而使问题较为容易地得到解决。（二）增量代换法在不等式中，若知a≥b，则令a=b+δ（其中δ≥0称之为增量），将不等式转化为相等关系，巧做变换，即可进行论

6、证，这种方法称之为“增量法”。这种方法特别对于对称不等式的证明显出奇特的作用。例4设x、y为正数，且x+y=1，试证：证明：设，则∴1414数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义即，等于当且仅当即x=y时成立。例5设x、y、z为非负实数，且，证明：证明：不妨设，由，不难得到于是有：所以：为证明右边不等式，令，则且z(x+y)+xy(1-2z)=∵通过以上两例可以看出利用增量代换将看似毫无解题思路的不等式经巧妙的转化后轻松的得以解决。二、变量代换发在解三角题中的意义有些三角函数题，若更久题设信息特征，恰当选择变量进行代换，可改变原题的结构，转化为对新变量的讨论，从而优化解题

7、途径。（一）整体设元代换例6已知，求证：。证明：设，则即1414数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义由得所以（二）辅助式设元代换例7已知，则________。解：由知，设，又两式平方，相加，得，解得所以解得所以（三）构造数学模型设元代换1414数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义例8已知，求的值。解：根据，构造等差数列。设，由知，即。因为所以所以。（四）将次设元代换例9已知，求证：。证明：设，则，所以化简，得，所以。所以所以1414数学科学学院本科学年论文变量代换法的意义通过以上四种代换法可以看出恰当的选择