考研数学D8考研基本班

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1、一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用第八章多元函数微分法推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.(1)区域邻域:区域连通的开集(2)多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数一、基本概念1.多元函数的定义定义域及对应规律Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientP

2、rofile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.解:例1.求的定义域．xoy所求定义域为:例2.设解:Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.则称常数A为函数描述性定义对于二元函数是定义域D的聚点对应的函数值无限接近于一个确定的常数A，则称A为的极限记为：2.多元函数的极限(1)定义：设函数的定义域为D,是D的聚点.如果对于任意给定的正数总存在正数使得对于适合不等式的一切点都有成立

3、，当时的极限.记为：或或记为这里Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.（2）二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系①不同点：二元函数极限的方式（路径）不同一元函数的方式有两种，故有的方式是任意的，有无数个.沿任何路径时极限存在且相等确定二元函数极限不存在的方法：☆令P(x,y)沿y=kx趋向于若极限值与k有关，则可断言极限不存在；☆找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言f(x,y)或有的极限不存在，处

4、极限不存在.在点Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.②共同点：即有定义与有极限不能互相推出.●定义方式相同.故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到多元函数中.用定义只能证明极限.●在点是否有定义并不影响极限是否存在，③联系：由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价无穷小代换法

5、等都可直接推广到多元函数极限上来.但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用于多元函数极限上.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例3.考察函数在原点的二重极限.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例4.求极限解:其中Evaluationonly.Crea

6、tedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3.多元函数的连续令记则设函数z=f(x,y)的定义域为D，聚点若则称函数z=f(x,y)在处连续.(1)定义：（2）间断点：点连续Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周（3）

7、多元初等函数：如：所表示的多元函数，有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过叫多元初等函数.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.(4)多元函数连续性的应用----求极限求时，如果f(P)是初等函数，定义域的内点，则f(P)在点处连续且是f(P)的定理:定义