考研数学D9考研基本班

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1、第九章重积分一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分二重积分的定义及计算三重积分的定义及计算重积分的应用Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.1一、二重积分的定义及计算1.定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,则称称为积分变量

2、Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.2说明：表示一个确定的数值，它只与有关，与D的分割法、的取法、积分变量所使用的字母无关，即(1)(2)当在闭区域D上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)底为D，顶为的曲顶柱体的体积为：平面薄片的质量为：Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5

3、ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3（4）二重积分的几何意义即当被积函数大于零时，当被积函数小于零时，二重积分二重积分是柱体的体积．特殊地：若在D上,则D的面积是柱体的体积的负值.？Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.4则面积元素为：D（5）直角坐标系下的面积元素如果在D上可积,也常二

4、重积分记作：这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作：？Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.5性质１(k为常数)性质２(二重积分与定积分有类似的性质)2.二重积分的性质性质３性质４若为D的面积，性质５若在D上则有Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2

5、.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.6性质6（二重积分中值定理）(二重积分估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点使得Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.7例1.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

6、,则的大小顺序为()提示:因0

7、注意:Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.10例2.(2005)解:由轮换对称性，有Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.114.二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）［

8、Y－型］［X－型］★如果积分区域为：★如果积分区域为：外限定限方法------投影法内限定限方法--平行线穿越法Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.125.二重积分在极坐标系下的计