资源描述：
《考研数学D8考研基础班》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用第八章多元函数微分法推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同(1)区域邻域:区域连通的开集(2)多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数一、基本概念1.多元函数的定义定义域及对应规律解:例1.求的定义域．xoy所求定义域为:例2.设解:则称常数A为函数描述性定义对于二元函数是定义域D的聚点对应的函数值无限接近于一个确定的常数A，则称A为的极限记为：2.多元函数的极限(1)定义：设函数的定义域为D,是D的聚点.如果对于任意给定的正数总存在正数使得对于适合不等式的一切点都有成立，当时的极限.记为：或或记
2、为这里（2）二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系①不同点：二元函数极限的方式（路径）不同一元函数的方式有两种，故有的方式是任意的，有无数个.沿任何路径时极限存在且相等确定二元函数极限不存在的方法：☆令P(x,y)沿y=kx趋向于若极限值与k有关，则可断言极限不存在；☆找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言f(x,y)或有的极限不存在，处极限不存在.在点②共同点：即有定义与有极限不能互相推出.●定义方式相同.故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到多元函数中.用定义只能证明极限.●在点是否有定义并不影响极限是否存在，③联系：由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.所
3、以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用于多元函数极限上.例3.考察函数在原点的二重极限.例4.求极限解:其中3.多元函数的连续令记则设函数z=f(x,y)的定义域为D，聚点若则称函数z=f(x,y)在处连续.(1)定义：（2）间断点：点连续例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周（3）多元初等函数：如：所表示的多元函数，有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个
4、式子由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过叫多元初等函数.(4)多元函数连续性的应用----求极限求时，如果f(P)是初等函数，定义域的内点，则f(P)在点处连续且是f(P)的定理:定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．例5.求解:函数是二元初等函数，4.多元函数的偏导数(1)定义：（2）多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点：连续可导偏导记号已不再有“商”的含义.（3）多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点：故多元函数偏导的求法与一元函数类似.可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用.因此,定义方式相同（4）偏导及高阶偏导的记号：纯偏导混合
5、偏导例6.解:按定义可知：设求当(x,y)=(0,0)时，求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.处不可导.轮换对称性5.多元函数的全微分对于二元函数(1)可微的定义:●可微●微分：能是●全微分的实质：(2)多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数可导函数可微偏导数连续极限存在连续可微分偏导数存在偏导数连续(3)判定函数可微的方法:不连续不可微.不可导不可微.可微★★★定义法:★偏导连续可微.是函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.例7.选择题●可微能(4)几个需要记住的重要函数（反例）:（3）函数它在(0,0)处可导、不可微、不连续.（1）函数（2）函数
6、它在(0,0)处不可微、因不可导、连续.它在(0,0)处连续、可导、不可微.连续但不可导可导但不连续可导但不可微它在(0,0)处连续.可微例8.讨论函数解:由导数的定义知在原点处连续、可导、不可微.则●求具体显函数的偏导数求时，把x看成变量，其余变量均看成常量；求时，把y看成变量，其余变量均看成常量；2)求一点处偏导数的方法：先代后求先求后代利用定义3)求高阶偏导数的方法:逐次求导法混合偏导数连续与求导顺序无关1)求偏导(函)数的方法：二、多元函数微分法同路相乘，异路相加.单路全导,叉路偏导.●求抽象的复合函数的偏导数-----链式法则例1.解:例2.解:法1：公式法：法3：微分法：谁看成
7、变量.时把谁看成常量，注意求法2：直接法：两边求导，这时若对求导，把数谁是自变量，把均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则.谁是函数，两边微分，不用区分求隐函数的偏导数也有类似的方法.请选用恰当的方法.●求隐函数的偏导数的三个方法隐函数的求导公式：有隐函数组则两边对x求导得设方程组解这个关于的线性方程组即可.定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定
