考研数学D9考研基础班

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1、第九章重积分一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分二重积分的定义及计算三重积分的定义及计算重积分的应用1一、二重积分的定义及计算1.定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,则称称为积分变量2说明：表示一个确定的数值，它只与有关，与D的分割法、的取法、积分变量所使用的字母无关，即(1)(2)当在闭区域D上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)底为D，顶为的曲顶柱体的体积为：平面薄片的质量为：3（4）二重积分的几何意义即当被积函数大于零时

2、，当被积函数小于零时，二重积分二重积分是柱体的体积．特殊地：若在D上,则D的面积是柱体的体积的负值.？4则面积元素为：D（5）直角坐标系下的面积元素如果在D上可积,也常二重积分记作：这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作：？5性质１(k为常数)性质２(二重积分与定积分有类似的性质)2.二重积分的性质性质３性质４若为D的面积，性质５若在D上则有6性质6（二重积分中值定理）(二重积分估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点使得7例1.设D是第二象限的一个有

3、界闭域,且0

4、积分限•计算要简便区域边界应尽量多为坐标线.被积函数关于坐标变量易分离.积分域分块要少.累次积分好算为妙(首先内积分易积).(充分利用对称性，几何意义和性质等)“平行线穿越法”“射线穿越法”15解:例3.如图则xyo1116例4.计算其中D是由所围的区域.解:xyox=y+2(4,2)(1,-1)-12区域D的图形如右阴影部分，解方程组得交点坐标为(1,-1),(4,2),则D：于是17解:直接用对称性.xoy-111y=x18例6.计算二重积分其中积分区域为11解:如图，记于是19例7.计算二重积分其中D是由曲线所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域形心坐标xoy-1

5、220例8.如图所示交换下列二次积分的顺序:解:改变积分次序的一般步骤：(1)由二次积分将区域D用不等式组表示;(2)由上面不等式组作出D的图形；(3)改写成另一形式即可.21例9.将表示为极坐标下的累次积分解:在极坐标系下,Ｄ可表示为：于是原式22例10.设f(x)连续,则等于2006Ｄ可表示为：解:23二、三重积分的定义及计算说明：(1)叫体积元素.(3)在直角坐标系中：于是，三重积分记为：其中叫做直角坐标系中的体积元素.24可推广到三重积分上面.二重积分的相关术语及性质，251.利用直角坐标计算三重积分方法1、“先一后二”方法2、“先二后一”又叫“投影法”又叫“截面法”26定

6、限方法：1.将空间闭(积分)区域投影到xoy面上，得投影区域Dxy;的射线穿越闭区域若入口面的方程为出口面的方程为则z的范围为：“投影法”2.在投影区域Dxy内任取一点(x,y),过该点作平行于z轴3.写出三重积分的累次积分形式注意:27外限定限方法------投影法内限定限方法---平行线穿越法28截面法的定限方法:xyzoz292.利用柱坐标计算三重积分规定：柱面坐标与直角坐标的关系为:设Ｍ(x,y,z)为空间内一点，并设点Ｍ在xoy面上的投影Ｐ的极坐标为则叫点Ｍ的柱面坐标.(1)柱面坐标的定义：圆柱面；半平面；平面．=常数=常数=常数坐标面分别为:30在柱面坐标系中体积元素

7、为因此实际上就是把“先一后二”中的“二”用极坐标计算.适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.313.利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系:坐标面分别为:球面半平面锥面常数常数常数(1)球面坐标的定义：32在球面坐标系中体积元素为因此有注意：球面坐标适用范围:积分域表面用球面坐标表示时方程简单;被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.33例1.xoyx+y=111D计算三重积分，其中为