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1、余杭区“假日杯”数学竞赛辅导资料（1）1、下列名人中：①比尔·盖茨②高斯③袁隆平④诺贝尔⑤陈景润⑥华罗庚⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）A．①④⑦B.③④⑧C.②⑥⑧D.②⑤⑥2、已知则a2b2c2=()A.5B.3.5C.1D.0.53.设，则（）A.24.B.25.C..D..4．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）A.3.B.4.C.5.D.6.5．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A..B..C..D..6．已知非零实数a，b满足，则等于（）．（A）－1（B）0（C）
2、1（D）27．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）．（A）（B）（C）（D）8.正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（）．、；、；、；、．9．方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x，y）的组数为（ ）A.3B.4C.5D.610.在△ABC中,∠B=60°,∠C>∠A,且(∠C)2=(∠A)2+(∠B)2,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角
3、三角形11.已知，则_________.12.已知，那么_______.13.我校生物实验室正在研究一种细菌，发现这种细菌的分裂能力极强，将一个细菌放在培养瓶中经过a分钟就能分裂满一瓶，那么将两个这种细菌放入同样的培养瓶中经过___________分钟就能分裂至满一瓶.14.三角形的三边长a,b,c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b)=4,(b,c)=3(注：[a,b]表示a与b的最小公倍数，（a,b）表示a与b的最大公约数).则a+b+c的最小值是_________.15．如果实数满足条件，，则_____.第6页16．已知是正整数，且满
4、足是整数，则这样的有序数对共有____对.17．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．（第18题）18．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．19．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的
5、方程的整数根，则的值为．20.不等边三角形ABC的两条高长度分别为4和12.若第三条高也是整数,则它的长为21.观察:1×2×3×4+1=52,2×3×4×5+1=112,3×4×5×6+1=192,……(1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;(2)根据(1),计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示).22.试确定，对于怎样的正整数，方程有正整数解？并求出方程的所有正整数解．第6页23.如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DF=C
6、F；③BC=DE+DF；④∠BFD=∠CAF．其中正确的结论序号是24.如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,下列结论正确的是()A．AB-AD＞CB-CDB．AB-AD=CB-CDC．AB-AD＜CB-CDD．AB-AD与CB-CD的大小关系不确定第2题图第1题图25.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上任意一点,且AB>AC,求证：AB-AC＞PB-PC26．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°.试探究MB
7、、MN、CN之间的数量关系，并给出证明.第6页27.如图所示,CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,AC=BC,E,F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且点E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图①,若∠BCA=90°.且α=90°，则BECF,EF;(填>,<或=)②如图②,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件:,使①中的两个结论仍然成立,并说明这两个结论成立的理由;第27题(2)如图③,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF
8、三条线段数量关系的合理猜想.并证明。28.在中，AB=AC，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，连接．AECDB图1（1
