浙江专版2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线学案新人教A版选修

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1、2.4　2．4．1　抛物线及其标准方程　预习课本P64～67，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？　　2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？　　　　1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一

2、定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线(　　)(2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)(　　)答案：(1)×　(2)×302．抛物线x＝－2y2的准线方程是(　　)A．y＝　　　　　　　　B．y＝C．x＝D．x＝答案：D3．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．答案：y2＝8x求抛物线的标准方程[典例]　求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6,6)；(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．[解]　(1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦

3、点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3．∴抛物线的方程为y2＝－6x．若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y．综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x．②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，30∴＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y

4、．综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y．求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．②直接根据定义求p，最后写标准方程．③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．　　　　　　[活学活用]　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．解：(1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝．(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准

5、线方程是y＝－．(3)由a>0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－．抛物线定义的应用[典例]　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

6、AF

7、＝x0，则x0＝(　　)A．1　　　　　　　　　　B．2C．4D．8(2)(浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)A．B．30C．D．[解析]　(1)由题意知抛物线的准线为x＝－．因为

8、AF

9、＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝

10、AF

11、＝x0，解得x0＝1，故选A．(2)由图形可知，△

12、BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于．由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1．∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M．由抛物线定义，得

13、BM

14、＝

15、BF

16、－1，

17、AN

18、＝

19、AF

20、－1．在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝．[答案]　(1)A　(2)A抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在

21、抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　　　　　[活学活用]1．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，

22、AF

23、＋

24、BF

25、＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．解析：选C　根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(

26、AF

27、＋

28、BF

29、)－＝－＝．2．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，如果