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1、与中垂线有关的问题【基础知识精讲】一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.1的证明，利用了全等三角形，2的证明利用等腰三角形的“三线合一”的性质.【重点难点解析】例1已知△ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂线分别为l1,l2,l3（图1）.求证l1,l2,l3三线共点.图1例2若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是()A.等腰三角
2、形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形图2例3如图3,△ABC中∠A=120°AB=AC,AB的中垂线交AB于D，BC于F.则=.-6-例4如图4，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，求证∠CAF=∠B.图4【难题巧解点拨】例1△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF中垂线，求证BF=2AD(图5).图5例2如图6，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB.图6【同步达纲练习】一、判断()1.
3、三角形两边的垂直平分线交在三角形一边上，该三角形为等边三角形.()2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.()3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.()4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°.()5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.()6.和线段两端相等的点不一定在线段上.-6-二、选择题1.到三角形三个顶点距离相等的是()A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，D
4、A=DB，∠ADB=80°,∠CAD=10°,则∠ACB=()A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=()A.17°B.34°C.68°D.136°4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为()A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形图76.△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，(图7)则
5、图中60°的角共有()A．6个B.5个C.4个D3个三、填空1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上.2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC=.3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂线交BC于E，则=.4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC=.5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=.6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的.四、解
6、答1.△ABC中，∠C=90°,AB的中垂线交AB于D，AC于E.且∠EBC=40°,求∠A及∠BED的度数.-6-2.已知O为等边三角形三边中线交点，求证BO与CO的中垂线必三等分BC.【素质优化训练】1.AD为△ABC的角平分线，DE∥AC,交AB于E.过E作AD的垂线交BC延长线于F(图8),求证（∠BAC+∠AFC）=90°-∠B.2.如图9，△ABC中，AB=AC，AE∥BC,D为直线AE上任一点.求证DB+DC＞2AB.【拓展训练】例1：如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于
7、点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.图2变式1：如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=.变式2：如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B=15°求：AC的长。-6-图3例2:如图5，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=12
8、0°,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求△AEN的周长.(2)求∠EAN的度数.(3)判断△AEN的形状.变式1:如图6，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=130°,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求△AEN的周长.(2)求∠EAN的度数.(3)判断△AEN的形状.变式2:如图7，在△ABC中，B
