《求变形的能量法》PPT课件

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1、子曰：好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。知斯三者，则知所以修身。知所以修身，则知所以治人。知所以治人，则知所以治天下国家矣。《中庸》1第十二章求变形的能量方法EnergyMethodforCalculatingDeformation前面解决了强度问题（简单变形——组合变形）刚度问题怎么办？1、能否避免组合变形的微分方程？2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线用揭示本质法寻根——能量法2本章就寻找能量方法，用于求位移优点：1.不管中间过程，只算最终状态2.能量是标量，容易计算质点力学挠曲线能量方法？3内容§12–1杆件变形位能

2、的计算§12–2卡氏定理§12–3莫尔定理§12–4计算莫尔积分的图乘法§12–5互等定理§12–6虚功原理4§12–1杆件变形位能的计算CalculatingPotentialEnergyofComponentDeformation一、条件大前提：1、小变形；2、服从郑玄—胡克定律线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数小前提：缓慢加载变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）5二、变力做功—贮能外力缓慢做功W，无损失地转化为变形位能U，贮存于弹性体内部：U=W进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称为能量方法P广义力（力

3、，力偶）广义位移（线，角位移）6三、杆件变形能的计算1.轴向拉压杆的变形能计算微元dx上轴力N(x)做功72.扭转杆的变形能计算微元dx上扭矩T(x)做功83.弯曲杆的变形能计算微元dx上弯矩M(x)做功9四、变形能的普遍表达式1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力的影响）10内力表达的变形位能应力表达的变形位能结论1.变形位能是状态函数（同最终的力和变形有关）112.变形位能的计算不能用叠加原理12如何解释交叉项？单独作用时则载荷在载荷引起的位移上做的功交叉项是两个载荷相互作

4、用的外力功〈解释1〉13〈解释2〉载荷在载荷引起的位移上做的功注意：1.载荷交互作用作功，不同于自力做功是变载由零一点一点增大，而是常力做功2.实质是虚功原理3.因，也包含互等定理14五利用功能原理求位移根据外力功W全部转成变形位能UW=U可以求出一个集中力下的位移例12.1[P352]要点：1、求出截面内力函数（弯矩、扭矩等）2、积分求变形位能U3、W=U，求出位移例12.2同上三个要点15六、引向卡氏定理例12.1例12.1后面的偏微分关系是巧合，还是必然？实际是卡氏定理说明要善于发掘更本质的东西16例半圆形等截面曲杆位于水平面内，在

5、A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移（备用题）解：用能量法（外力功等于应变能）QMNMTAAPNBjT①求内力APR17③外力功等于应变能②变形能18§12–2卡氏定理CastiglianoTheory设法推导出（不是简单的证明）推导的出发点只有第i号外力有增量1920当即卡氏定理21我得到另一结论，因意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提格里安诺(AlbertoCastigliano，1847～1884)当所以22二、使用卡氏定理的注意事项①U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能②Pi视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pi的函数③

6、i为Pi作用点沿Pi方向的变形23例求等截面直梁C点的挠度解：应用对称性得思考：分布荷载时求C点位移？qCaaAPBf24例求A点的挠度③变形①求弯矩解：②求变形能ALPEIxO思考：如何求A点转角25例用卡氏定理求B点的挠度解：B点加一个力Q最后令Q=0①求弯矩PALaBCfxOx1②求变形能③变形26实际引向了Mohr定理原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算只需计算二者交互的变形能前面的两个思考题也可以这样解27如何计算任一点A的位移？在实载荷下得到相应内力如弯矩为M(x)q(x)A1、在A点加虚单位力2、计算实、虚载荷交互的变形能

7、§12–3莫尔定理MohrTheory28求任意点A的位移fAAfAq(x)A=1P0弯矩M(x)弯矩前面讲变形能不能迭加的交互项因P0=129莫尔定理(单位力法)普遍形式的莫尔定理30三、使用莫尔定理注意事项④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立⑤莫尔积分必须遍及整个结构②M0——沿所求广义位移的方向加广义单位力（虚载荷）时结构产生的内力①M(x)——结构在原载荷（实载荷）下的内力③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲31例求等截面直梁C点的挠度和转角（例12.3[P356]）解：①画单位载荷图②求

8、内力BAaaC0P=1BAaaCqx32对称性③变形BAaaCqx0P=1BAaaC33④求转角，重建坐标系（如图）qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1d)()()()()(00)(00ò