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1、2003年3月武汉职业技术学院学报Mar12003第2卷第1期JournalofWuhanTechnicalCollegeVol12,No11#数理园地#变形法求极限的变化技巧冯丽珠(华中师范大学数学系,湖北武汉430079)[摘要]极限是高等数学基本概念与核心内容之一,变形作为求极限的一种常用方法,变化很多。本文力图对其中的变化技巧作出归纳,提出了五种方法,以便形成一种常规思路。[关键词]函数;极限中图分类号:O1-4文献标识码:A文章编号:1671-931X(2003)01-0085-04数学观察、描述和阐释世界的独特视角与方式limx-a+x-
2、a例1求极限决定了数学素养在一个人的文化素养中的重要地xyax2-a2位。数学广泛的应用更要求着各行各业的工作者、limx-a+x-a解:xya22专家有着必备的数学知识。微积分作为高等数学的x-a重要分支成为高等院校各专业的必修主干课程。其limx-ax-a=(+)xya基本概念与核心内容)))极限,在整个微积分学中(x+a)(x-a)(x+a)(x-a)有着极其重要的地位。极限的求法变化无穷,其中2lim(x-a)1lim1=#+尤以变形法更甚。本文将对变形求极限进行探讨,xya(x)2-(a)2x+axyax+a提出了五种方法,便于初学者迅速掌
3、握变形法求极lim(x-a)111=#+=限的各种技巧。xya(x+a)x+a2a2a一、利用分式的性质求极限021分子有理化(分子中含有无理式的型或]0011消去分母中的零因子(型)0-]型)0形如型的函数有时应根据分式的基本性质将lim1+2x-3lim220形如,(x+1-x-1)xy4xy]x-2分子、分母同时除以分母中的零因子,再利用初等函0等分子中含有无理式的型或]-]型函数较难直数在其定义域内的连续性求出极限。0limx3+1接消去零因子求极限,而可以先将分子有理化后再如xy-1x+1求。¹收稿日期:200211212作者简介:冯丽珠(
4、1971-),女,湖北大冶人,华中师范大学数学系硕士研究生。85¹lim2使它满足条件(ii)可令f(x)=x-P,作变量代换后例2求极限(x+ax+b-xy]再求。2x+cx+d)lim1x21利用重要极限(1+)=e(含有指数lim22xy]x解:(x+ax+b-x+cx+d)xy]函数或对数函数的1]型)lim(a-c)x+(b-d)1=xy]22定理2若limf(x)=0,则lim[1+f(x)]f(x)x+ax+b+x+cx+dx0xyx0b-dlimlim1f(x)(a-c)+=e;若f(x)=],则[1+]=e.limxxyx0x0f(
5、x)=xy]abadlim1x1++2+1++2注3定理2是重要极限xy](1+x)=e的xxxxa-c推广形式。=2lim注4运用定理2求极限g(x)要具备两31通分(]-]型)xyx0形如]-]型的函数求极限常可用先通分的办个条件:(i)所求极限limg(x)中的g(x)通过变形xyx00]lim11法转化为型或型再设法求。如(-0]xy3x-3后可以转化为[1+f(x)]f(x)的复合函数;(ii)由xy6lim2x+3)12)。x0可以得到f(x)y0。如()x+1中令x-9xy]2x+1]141分子、分母同除以分子的最高价(型或0#f(x)
6、=2x+1。]]型)limlimloga[1+f(x)]推论1若f(x)=0,则xyx0xyx0f(x)]0形如型及型函数可以通过分子、分母同除]01=以分子中x的最高次幂或分子的最高阶来求。如lna1020limlimlim(x-1)(4x-3)lim1证明:因为f(x)=0,由定理2知[130,xsin等。xyx0xyx0xy](2x+1)xy]x1lim2x+3+f(x)]f(x)=e,两边取对数,由对数函数的连续性,例3求极限xy+]x2-3知3lim11x1+xloga[1+f(x)]f(x)=logae=lim2+3lim2xyx0lna
7、解:x==1xy]2-3xy]1-3limloga[1+f(x)]12x即=xyx0f(x)lna二、利用两个重要极限求极限g(x)limlima-1推论2若g(x)=0,则=lnalimsinx[3]xyx0xyx0g(x)11利用重要极限=1(含三角函数xy0x其中a>0且aX10或反三角函数的)limlimg(x)0证明:因为g(x)=0,所以[a-1]xyx0xyx0limlimsinf(x)g(x)定理1若f(x)=0,则=1=0,令f(x)=a-1,由推论1知xyx0xyx0f(x)g(x)limsinxlimloga[1+(a-1)]=
8、1注1定理1是重要极限xy0=1的推广xyx0ag(x)-1lnax形式。g(x)lima-1即=lnali
