第三章 一元函数积分学（定积分）

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1、第三章一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a，b]上连续,证明:对于任意选定的连续函数F(x),均有,则f(x)º0.证明:假设f(x)¹0,a0.因为f(x)在[a，b]上连续,所以存在d>0,使得在[x－d,x+d]上f(x)>0.令m=.按以下方法定义[a，b]上F(x):在[x－d,x+d]上F(x)=,其它地方F(x)=0.所以.和矛盾.所以f(x)º0.二.设l为任意实数,证明:=.证明:先证:=令t=,所以=于是=所以=.所以同理.三．已知f(x)在[0，1]上连续,对任意x

2、,y都有

3、f(x)－f(y)

4、

5、x－y

6、,证明证明:,四.设,n为大于1的正整数,证明:.证明:令t=,则因为>0,(00,证明:对于满足0

7、令(或令),所以F(x)单增;又因为F(0)=0,所以F(1)³F(0)=0.即,即方法二:由积分中值定理,存在xÎ[0,a],使;由积分中值定理,存在hÎ[a,1],使因为.所以八.设f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]内存在而且可积,f(a)=f(b)=0,试证:,(a0因为f(0)=f(1)=0$x0Î(0,1)使f(x0)=(f(x))所以>（1）在（0，

8、x0）上用拉格朗日定理在（x0,1）上用拉格朗日定理所以（因为）所以由（1）得十.设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数,且f(1)－f(0)=1,试证:证明:十一.设函数f(x)在[0,2]上连续,且=0,=a>0.证明:$xÎ[0,2],使

9、f(x)

10、³a.解.因为f(x)在[0,2]上连续,所以

11、f(x)

12、在[0,2]上连续,所以$xÎ[0,2],取x使

13、f(x)

14、=max

15、f(x)

16、(0£x£2)使

17、f(x)

18、³

19、f(x)

20、.所以