一元函数积分学(定积分概念性质).ppt

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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组3.2定积分高等数学A3.2.1曲边梯形的面积•变速直线运动的路程3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的简单性质•中值定理第3章一元函数积分学3.2定积分定积分的概念与性质3.2.1曲边梯形的面积•变速直线运动的路程3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的简单性质•中值定理定积分的概念习例1-3定积分的性质习例4-8定积分的几何意义本节内容小结abxyo实例1（求曲边梯形的面积）思考方法:利用“矩形面积=底高”.一、曲边梯形的面积•变速直线运动的路程ab

2、xyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分

3、割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩

4、形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为全过程为：分割、近似求和、取极限.实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值注

5、意:上述两例的共同点(1)所求量与一个函数及区间有关.(2)变与不变的矛盾.(3)处理方法一样:分割、近似求和、取极限.(4)结果一样:都是同一形式的和式的极限.1.定义二、定积分的概念、定积分的几何意义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意：如果存在,它就是一个确定的数值!如Dirichlet函数的讨论.若定积分存在,则可用特殊的区间分法和点的取法来计算定积分.(7)定积分的存在性有以下两个定理(不加证明)定理1定理2(8)定积分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单函数的定

6、积分;同时可利用定义求n项和的极限.曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值2.定积分的几何意义几何意义：例1例2例33.定积分的概念习例解例1例2解例3解xyo12证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1三、定积分的简单性质•中值定理(定积分对积分区间具有可加性)证性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3证性质4性质5性质5的推论1：证（1）证说明：可积性是显然的.性质5的推论2：（2）证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6证由闭区间上连

7、续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：例6例7例8定积分的性质习例解令于是解例6解例7解注意:这样证明正确吗？例8解能！如图.xyo内容小结１.定积分的实质：特殊和式的极限．２.定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3.定积分的性质