《电路理论基础》学习指导(李晓滨)第7章

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1、第7章二阶电路7.1内容提要7.2重点、难点7.3典型例题7.4习题解答7.1内容提要1.RLC串联电路的零输入响应1)定义当外激励为零，仅由初始条件在二阶电路中产生的响应，称为二阶电路的零输入响应。如图7-1所示的RLC串联电路，如初始时刻uC(t)、i(t)不为零，则产生的响应均为零输入响应。图7-12)电路的微分方程由KVL得uR(t)+uL(t)+uC(t)=0代入R、L、C的电压电流关系，得到一个线性齐次常系数二阶微分方程:其特征方程为上式中，λ1,2即为电路的固有频率。根据R、L、C的量值大小以及特征根的不同取值，其与响应形式之间的关系为(1)当　

2、　　　　　时，λ1、λ2为两个不等的负实根，响应为非振荡放电过程，也称为过阻尼。(2)当　　　　　　时，λ1、λ2为两个相等的负实根，响应为非振荡放电过程，也称为临界阻尼。(3)当　　　　　　时，λ1、λ2为一对共轭复数根，响应为衰减振荡放电过程，也称为欠阻尼。应特别注意，当二阶电路中无耗能元件R时，此时λ1、λ2为一对共轭纯虚根，响应为等幅振荡过程，也称为自由振荡。2.二阶电路的零状态响应1)定义当电路的初始条件uC(0－)=iC(0－)=0时，仅由外激励产生的响应，称为二阶电路的零状态响应。如图7-2所示的RLC串联电路，如初始时刻uC(t)、i(t)均为

3、零，则由外激励产生的响应为零状态响应。图7-22)电路的微分方程由KVL得uR(t)+uL(t)+uC(t)=Us(t)代入R、L、C的电压电流关系，得到上述二阶常系数线性非齐次方程的解包括两个部分，即取决于电路参数的齐次解和取决于外加激励的特解，即。的函数形式由外加激励的函数形式确定，的函数形式与零输入响应类似，因而电路的零状态响应也相应地分为过阻尼、欠阻尼和临界阻尼三种情况。7.2重点、难点1.全响应定义RLC二阶电路的全响应是电路在外加激励和初始状态共同作用下产生的响应。二阶电路的全响应从产生的物理过程来看可分解为零输入响应和零状态响应，从数学的角度看

4、也可以分解为齐次解和特解。2.电路的微分方程如图7-3所示的RLC串联电路，设电压源在t=0时接入电路，电容、电感的初始值分别为uC(0+)=u0，iL(0+)=i0。图7-3由KVL得代入R、L、C的电压电流关系，得到一个线性非齐次常系数二阶微分方程其解由两部分组成:uC(t)=uCh(t)+uCp(t)其中，uCh(t)为齐次常系数二阶微分方程的通解(令Us=0)，它的确定与零输入响应类似;uCp(t)为非齐次常系数二阶微分方程的特解，即为Us。令上述微分方程右边Us=0，非齐次变为齐次方程，则此时的响应是由初始条件引起的零输入响应；当uC(0+)=0，i

5、L(0+)=0时，此时的响应为零状态响应，是由Us激励产生的。把上述两种情况下的方程、初始条件分别相加，可以证实电路的全响应为零输入响应与零状态响应之和。7.3典型例题【例7-1】图7-4所示电路已达稳态，当t=0时开关S打开，求零输入响应uC。图7-4解(1)确定初始状态。对于恒定输入，当电路达到稳态时电感相当于短路，电容相当于开路，故:(2)以uC为直接求解变量建立描述电路的微分方程。当t=0时，S打开后，电路为RLC串联电路，且输入为零。故以uC变量描述电路的方程为代入元件参数值得相应的初始条件为(3)求响应uC。上述微分方程的特征方程为λ2+4λ+4=

6、0特征根为λ1=λ2=－2故响应为临界阻尼情况，所以有代入t=0+时的初始条件，得由以上两个方程知k1=4，k2=4，所以uC(t)=(4+4t)e－2tt≥0【解题指南与点评】该例题要求重点掌握零输入情况下，临界阻尼状态时，二阶常系数微分方程的解法以及微分方程解中任意常数的确定。【例7-2】图7-5所示电路中，电容原先已充电，uC(0－)=U0=6V，试求：(1)开关闭合后的uC(t)，i(t);(2)使电路在临界阻尼下放电，当L和C不变时，电阻R的值。图7-5解(1)开关闭合后，电路的微分方程为初始条件为uC(0+)=uC(0－)=6ViL(0+)=iL

7、(0－)=0上述二阶齐次微分方程的特征方程为LCλ2+RCλ+1=0方程的特征根为这是两个不相等的实根，因此电路处于过阻尼状态。所以微分方程的通解为代入初始值，得由以上两式解得k1=8，k2=－2，所以(2)使电路在临界阻尼下放电，应满足即【解题指南与点评】该例题要求重点掌握零输入情况下，过阻尼状态时，二阶常系数微分方程的解法以及微分方程解中任意常数的确定。【例7-3】电路如图7-6所示，当t=0时开关S闭合，设uC(0－)=0V，i(0－)=0。试分别求(1)电阻R=3kΩ;(2)电阻R=2kΩ;(3)电阻R=200Ω时电路中的电流i和电压uC。图7-6解当

8、t>0后，电路的微分方程为由题意可知电