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1、第四节格林公式及其应用(2)二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件1定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即注：两个前提条件缺一不可2说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))3证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数4证明(3
2、)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的一阶偏导数,从而在D内每一点都有5证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕6说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;7例1.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则8例2.验证是某个函
3、数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。9例3.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数10或11内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有12思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:132.设提示:143.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点154.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:由
4、图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)F的大小等于点M在此过程中受力F作用,16
