格林公式及其应用(I)

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1、§10.3格林公式及其应用一、格林公式1.平面单连通区域的概念单连通区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D;复连通区域:非单连通区域.规定:当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边.2.平面区域D的边界曲线L的正方向DDlLL设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有定理13.格林公式其中L是D的取正向的边界曲线.证明(1)yxoDabcdCEAByxodDcCE同理可证两式相加得证明(2)D证明(3)DABCE由(2)知格林公式成立的条件：1）

2、P,Q在D上具有一阶连续偏导数;2）L是闭路.格林公式的应用计算平面面积例1求椭圆所围成图形的面积A.例2设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得Ll例3计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.xyDLDxyo解xyoLyxo(注意格林公式的条件)例4计算其中L是由A(0,一1)沿半圆周到B(0,1)。LA(0,一1)B(0,1)xyo解利用格林公式，注意L不是闭路,故加作辅助线：直线BAxyo如果在区域G内有yxoGAB1.曲线积分与路径无关的定义二、平面上曲线积分与路径无关的条件

3、定理2设开区域G是一个单连通域,函数P,Q在G内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:2.曲线积分路径无关的条件(4)对G内任意闭曲线C:.(3)(x,y)G,;(2)在G内存在u(x,y),使得(1)在G内曲线积分与路径无关;称为Pdx+Qdy的原函数证明(1)(2)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(2)(3)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(3)(4)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕说明:积分与

4、路径无关时,曲线积分可记为证明(4)(1)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(4))注(1)定理条件:G-----单连通域,P,Q在G内有一阶连续偏导数,(2)求u(x,y):使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy解例7验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。例8验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数或解:这里则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.例9设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W取圆弧小结1

5、.连通区域及曲线的正向概念;2.二重积分与曲线积分的关系——Green公式;3.格林公式的应用.4.平面上曲线积分与路径无关的四个等价条件与路径无关的四个等价命题条件等价命题练习1计算其中L是由A(a,0)沿到B(0,b).练习2计算其中L是逆时针方向