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1、高等数学复习题第一章一元函数微积分概要1.求下列个极限①.②.③.④.⑤.⑥.2.试解下列各题①.设,求,,解:②.设,求解:④.设,求及在点处的切线与法线方程.解:两边对求导:切线斜率,则法线斜率25切线方程为(),法线方程为⑤.设,求.解：⑥.求函数的单调区间与极值.解：令则或3+0_0+↗极大↘极小↗3.求下列各积分①②③④⑤解：设,,当时,;当时,⑥=25⑦⑧解：设则.当时,;当时,⑨⑩,其中解：第二章微分方程1.求下列一阶微分方程的通解或特解①解：分离变量:两边积分:②解：分离变量:两边积分:,代入初始条件得:.
2、特解为③解：.代入通解公式得：④25解：,代入通解公式得：代入初始条件得:特解为⑤解：,设代入方程分离变量两边积分:,,通解为⑥解：.设代入方程分离变量,通解为2.求下列二阶微分方程的通解或特解①解：②解：令则代入方程;分离变量,并两边积分:.代入得25即,,代入得特解为③解：特征方程为,通解为代入得:代入得:特解为④解：特征方程为,故.对应齐次方程解为又因,则为特征单根特解,,代入方程得:即得解得:特解为原方程通解为⑤解：特征方程为,,对应齐次方程的通解为.则不是特征方程的根.则特解,代入方程即25解得所以特解为所以原方
3、程的通解为⑥解：对应的齐次方程的特征方程为,,通解为.,则故不是特征方程的根.故,,代入方程即解得：所以原方程的通解为3.求初值问题解：对应的齐次方程的特征方程为:,.,,.则为特征单根,代入方程得：即,,所以原方程的通解为：25代入初始条件解得所以该初值问题的解为4.设为连续函数,且满足方程求解：两边求导得：即.由通解公式：5.设某曲线上各点的法线都通过，求此曲线方程.解：设为曲线上任意一点，则在点的法线方程为是法线上的动坐标.法线通过点，得.即.分离变量，并积分得即6.设某曲线经过点且在此点与直线相切，并满足方程，求此
4、曲线的方程解：...曲线经过.所以该曲线的方程为257.设质量为的质点从液面由静止开始在液体中下降，假定液体的阻力与速度成正比，试求质点下降时的位移与时间的函数关系.解：由牛二定律得方程：分离变量，并积分得即.物体由静止开始运动，故,得从而解得.积分得又.代入上式解得.所以第三章空间解析几何与向量代数1.试解下列各题①设向量，求、及的方向余弦；解：的方向余弦②已知三点，求同时垂直于的单位向量，及三角形的面积.解：所以同时垂直于的单位向量为和③已知向量与之间的夹角为，求以为领边的平行四边形的对角线的长；25解：(自己作下图。
5、)一条对角线长为,一条为.应用余弦定理④已知向量相互垂直，求的值解：即3.求下列各平面方程①过点，且与平面平行解：由已知条件可知所求平面的法向量为.所以由平面的点法式方程可知所求平面方程为即②过点，且与直线垂直解：直线的方向向量即所求平面的法向量.所以由平面的点法式方程可知所求平面方程为即③过轴和点解：因平面过轴,所以可设平面方程为代入点得,故代回方程消去得④过点和直线解：点和直线上取一点..直线的方向向量.所求平面的法向量所以所求平面的方程为即4.求下列直线方程①用点向式与参数式方程表示直线解：设,代入直线的方程组得解得
6、：于是直线上一点为25直线的方向向量所以直线的点向式方程为参数式方程为②求过点，且与平面和均平行解：直线的方向向量所以所求直线方程为③求过点，且和直线垂直相交解：在直线上取一点。则同时垂直于直线和的直线的方向向量=。所求直线的方向向量为所以直线方程为5.求点到平面的距离解：由点到平面的距离公式6.求点在平面上的投影点的坐标解：过点作垂直于平面的直线，交点即为投影点.该直线的方向向量25所以直线方程为.参数式为代入平面方程..所以投影点的坐标为第四章多元函数微分学1.已知，求解：2.求函数的定义域解：定义域为3.求下列函数的
7、一阶偏导数①解：，②解：，③解：④解：25⑤解：⑥解：4.求下列函数的全微分①设,求解：②设,求解：5.求下列函数的二阶偏导数①设,求解：②设,求25解：6.求下列隐函数的偏导数或全微分①设由方程确定是的函数，求解：设则②设由确定，求解：设，则③设，求解：设则7.设，其中可微，，证明：25证：证毕8多元函数微分学在几何上的应用①求曲面在点处的切平面与法线方程解：所以切平面方程为即法线方程为②求曲线，在点处的切线与法平面方程解：所以切向量切点为所以切线方程为法平面方程为即③求曲线在点处的切线与法平面方程解：取为参数在点处的切
8、向量所以切线方程为法平面方程为即④求曲面平行与平面的切平面方程25解：法向量切点为所以切平面方程为即9.求函数的极值解：解出驻点为和，，在点处，，故不是极值；在点处，，且,故为极小值。第五章多元函数积分学1.画出下列各积分区域，并改变积分次序①=②③=2.求下列二重积分①解：②，其中D是有两条抛物线所围
