数学竞赛初赛一试突击训练

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1、数学竞赛初赛突击训练一、选择题（每小题5分，共30分）1．一个等比数列的前三项的积为，最后三项的积为，且所有项的积为，则该数列有().(A)10项(B)11项(C)12项(D)13项2．若函数则().(A)(B)(C)(D)3．称横坐标为整数的点为“次整点”，过曲线上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于的直线条数为（）.(A)12(B)13(C)14(D)154．现有一个正四面体与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，将它们重叠一个侧面后，所得的几何体是（）.(A)四面体(B)五面体(C)六面体(D)七面体5．已知I是的内心，，若，则的值为().(A)(B)(C)(D

2、)6．数列满足，，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为().(A)10(B)9(C)8(D)7二、填空题（每小题5分，共30分）7．设，则．8．等式对于一切均成立，则实数的取值范围是　　　　．9．将3个相同的白球、4个相同的红球、5个相同的黄球放入3个不同盒子中，允许有的盒子中球的颜色不全的不同放法共有　　　　　　种（要求用数字做答）．10．若，，，，则的大小关系为．11．的小数点后一位数字是．12．对空间中有6个点两两连线，用红、黄两种颜色对这些边染色，则同色三角形至少有个．三、解答题（每题２０分，共１００分）13.若，求证：．14.定义在集合A上的函数满足

3、：对任意的都有，则称函数是A上的凹函数.（1）试判断是否是R上的凹函数？（2）若函数是R上的凹函数，求实数的取值范围.15.已知数列中，，且．（1）试求的取值范围，使得对任何正整数n都成立；（2）若，设，并以表示数列的前n项的和，证明：．１６.如图所示，在中，，有一个圆内切于的外接圆，且与、分别相切于、，求证：线段的中点是的内心.开始S=0K=1K>10?否K=K+1是输出S结束１７.一个由空间中的点组成的集合满足性质：中任意两点之间的距离互不相同.假设中的点的坐标都是整数，并且，证明：集合的元素个数小于.一、选择题(每小题5分，共60分)1.集合则().A．B.

4、C.D.2.已知复数为实数，则实数m的值为（）.A．B．C．—D．—3.与圆相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有().A.2条B.3条C.4条D.6条4.已知恒成立，则的取值范围是A.B.C.D.5.当满足条件时,变量的取值范围是().A.B.C.D.6.如图是一个程序框图，则输出结果为().A.B.C.D.7.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为().A.　　B.　　C.　　D.8．设是连续的偶函数,且当时是严格单调函数,则满足的所有之和为().A.B.-8C.3D.9.若把函数的图象向右平移（＞0）个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，

5、则的最小值是（）.A．B．C．D．10.将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是().高☆考♂资♀源€网A．B．C．D．11.空间中一点到三条两两垂直的射线的距离分别为,且垂足分别为,则三棱锥的体积为().A.B.C.D.12.已知集合,定义函数且点,若的内切圆圆心为D,且,则满足条件的函数有().A.12个B.10个C.6个D.16个二、填空题(每小题5分，共20分)13.若二项式的展开式中的常数项为-160，则=14．设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是15.已知双曲线的右焦点为,过做双曲线的一条渐近线的垂线与双曲线

6、交于,垂足为,若,且,则16.一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，若该球的体积为，则该三棱柱的体积是_______________________三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17.(10分)设的内角所对的边分别为,且(1)求角的大小.(2)若,求内切圆半径R的最大值.19.(12分)已知数列的首项,前项和为,且(1)求数列的通项公式.(2)设函数,是函数的导函数,令,求数列的通项公式,并研究其单调性.21.(12分)已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足，动点P满足（其中O为坐标原点）.(1)求动点P的轨迹C的方程；(

7、2)过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若，求直线l的斜率的取值范围.22.(12分)已知函数(1)试判断函数的单调性；(2)设，求在上的最大值；（3）试证明：对，不等式试题一、填空题（每小题7分，共56分）1．已知数列的前项和，则．2.若集合为空集，则实数的取值范围是．3.设、为实数，，则二元函数的最小值是．4.设、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交双曲线左支于、两点，且.双曲线的离心率的值介于整数与之间，则．5.已知长方体的体积为，则四面体与四面体的重叠部分的体积等于．6.设表示不大于的最大整数，则．7.设方程的根都是正数，

8、且其中，则