复变函数复习思考题

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1、（0345）《复变函数》复习思考题一计算题1．设，求。2.函数将平面上的曲线变成平面上的什么曲线？3.下列关系表示的点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？(1)(2)(3)(4)(5)(6)4.将复数化为指数形式化为三角形式。5．判断函数的可微性和解析性。6．设确定在从原点起沿正实轴割破了的平面上，并且，试求之值7．试求下面各式之值：（1）；（2）。8．设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上，并且，（这是边界上岸点对应的函数值），试求之值。9．计算:(1)；(2)10．求积分之值,其中积分路径是连接0

2、到的摆线:.11．计算积分:(1)C:(2)C:(3)C:12．设表圆周,,求.13．确定下列幂函数的收敛半径：（1）；（2）；（3）。14．将下列函数展成的幂级数，并指出展式成立的范围：（1）（a,b为复数，且）；（2）；（3）；（4）；（5）。15．指出下列函数在零点的级。（1）；(2).16．在原点解析，而在处取下列各组值的函数是否存在：（1）0，1，0，1，0，1，…（2）…（3）…（4）…17．将下列各函数在指定圆环内展为罗朗级数。（1）。。（2）18．将下列各函数在指定点的去心邻域内展成

3、罗朗级数，并指出其收敛范围。（1）（2）（3）19．（1）在(2)（3）（4）.20求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的残数（是自然数）。（1）（2）。21．计算下列各积分：（1）；（2）；（3），;(4)().22求积分之值：;23．求实积分：24．方程z在圆与在圆环1<内各有几个根？二证明题1．命试证：在原点不连续。2．试证：任何有界的复数列必有一个收敛的子数列。3．试证下列函数在平面上任何点都不解析：（1）；（2）；（3）Rez；（4）4．试证：负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在平面

4、上处处连续。5．设，试证：Re，。6．由积分之值证明，其中取单位圆周。7．设在平面上解析,且恒大于一正的常数,试证必为常数.8．设的收敛半径为,并且在收敛圆周上一点绝对收敛。试证明这个级数对于所有的点为绝对收敛且一致收敛。9．设级数在点集上一致收敛于，且在上，则级数在上一致收敛于。试证之。10．设的收敛半径，且（）.试证：在圆内无零点。11．设是一个整函数，且假定存在着一个正整数，以及两个正数与，使当时，。试证：是一个至多次的多项式或一常数。12．设函数在点解析，试证函数在点也解析。13．证明方程在

5、单位圆内恰有一个根，且为实根。14．若在围线内部除有一个一级极点外解析且连续到，在上证明在内部恰好有一个根。15．设为非常数的整函数,又设为任意正数.试证:满足且的必存在.16．若为的单值孤立奇点，在点的去心邻域内有界。试证：是的不高于级的极点或可去奇点。三综合运用题1．已知,试确定解析函数。2．设在内解析的函数有泰勒展式，试证：当时。3．若为的单值孤立奇点，在点的去心邻域内有界。试证：是的不高于级的极点或可去奇点。4．考察函数的奇点类型。5应用残数定理计算实积分6．设内部解析，且连续到，在上。试证

6、：在内部只有一个点z，使。7．设不恒为零且以为解析点或极点，而以为本性奇点，试证是的本性奇点。