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1、第2章2.3.2无穷小量的比较与运算法则2.3.3等价无穷小及其应用2.3.1无穷小量的概念§2.3机动目录上页下页返回结束无穷小与无穷大2.3.4无穷大量是(当2.3.1无穷小量的概念定义:则称变量u为该极限过程中的无穷小量。例如:故函数是(当时的)无穷小；故数列时为)无穷小；故函数是(当时为)无穷小；机动目录上页下页返回结束约定：—某个给定的极限过程中变量u的极限.当自变量时，它表示函数的极限；当自变量取正整数时，它表示数列的极限。注：简称无穷小。若记作：则称v为该极限过程中的一有界量，记作：若函数是(
2、当时为)有界量。ⅰ）不能忽略极限过程谈论无穷小量；ⅱ）除了常数0之外，任何非零常数均不是无穷小量。机动目录上页下页返回结束注明:ⅲ）约定：无穷小量均为取非零值的变量。为讨论问题的方便，一般地，视自变量的变化状态而选取无穷的度量尺度（基本无穷小）为：当时；当时；当时；定理：定理(函数极限与无穷小的关系)证:且且ⅰ）有限个无穷小量的和（积）仍为无穷小量；机动目录上页下页返回结束ⅱ）有界量与无穷小量的积是无穷小量。推论：常数与无穷小量的积是无穷小量；有限个无穷小量的线性组合仍是无穷小量。且都是无穷小,2.3.2无
3、穷小量的比较与运算法则例如.当但因此，有必要对它们作进一步的分析与研究。这里提出了机动目录上页下页返回结束尽管各无穷小量的极限均相同（为0）,但在同一极限过程中它们趋于零的快慢程度（速度）、方式并非完全一致。两个方面的问题：Ⅰ.确立一套比较原则（方法），即如何比较的问题；Ⅱ.选定一个比较标准或称为比较尺度（基本无穷小），即用什么作比较的问题。时，定义：ⅰ）若则称u是比v高阶的无穷小ⅱ）若ⅲ）若ⅳ）设α为该极限过程的基本无穷小，或记作：（或称v是则称u与v是同阶的无穷小，则称u是k阶无穷小，则称u与v是等价的
4、无穷小,机动目录上页下页返回结束设同一极限过程中记作：记作：称为无穷小u的主部。无穷小u的阶；记作：若k称为比u低阶的无穷小），C为常数，显然即例如,当时又如，故时是（关于x的）2阶无穷小,其主部是：机动目录上页下页返回结束即注明：并不是任意的两个无穷小都可以进行比较的。例如：均是无穷小(x→0),但两者是无法比校的。无穷小量的运算：定理：设同一极限过程中的C为非零常数，则机动目录上页下页返回结束2.3.3等价无穷小及其应用证:即例如,故机动目录上页下页返回结束定理1.设在同一极限过程中：则（和取低阶的原则
5、）当时，即定理2.（等价替换原理）则证:机动目录上页下页返回结束ⅰ）积(商)替换：设ⅱ）和(差)替换：设w为一表达式，则ⅰ)的证明不难，同学自证，下只证ⅱ）例1.机动目录上页下页返回结束计算下列极限：例2.求解:机动目录上页下页返回结束3.3.4无穷大量定义：则称函数（当时）为无穷大，使得若在定义中将①式改为①记作记作存在着机动目录上页下页返回结束则称函数（当时）为正无穷大，若在定义中将①式改为记作则称函数（当时）为负无穷大，注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.
6、但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束例3.证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:机动目录上页下页返回结束定理：（无穷小与无穷大的关系）变量u为某一极限过程的无穷大量的充分必要条件是：变量为同一极限过程的无穷小量。据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.说明:机动目录上页下页返回结束内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th2.6.13.无穷小与无穷大的关系Th2.6.4第五节目录上页下页
7、返回结束4.无穷小的比较：设,为同一极限过程中的两个无穷小，且满足：是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小，k称为无穷小β的阶，内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系第五节目录上页下页返回结束4.无穷小的比较设,为同一极限过程的无穷小量，是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小内容小结4.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无
8、穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小机动目录上页下页返回结束例1.证明:当时,～证:～机动目录上页下页返回结束(3)因式代替规则:界,则例如,机动目录上页下页返回结束例1.求解:原式2.等价无穷小替换定理～～～～～思考与练习Th2P59题1,2作业P593;4(2),(3),(4);5(3)常用等价无穷小:第八节目录上页下页返回结束
