《无穷大量无穷小量》PPT课件

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1、16九月20210§2.4无穷小量与无穷大量一、无穷小量定义极限为零的变量称为无穷小量。注①由定义知无穷小量为一个变量而不是数；②定义中的极限包括7种形式的极限，因此说一个变量是无穷小量必须指明自变量的变化趋势；③0看作常量函数时lim0=0，因此(不论在自变量的哪一种变化趋势下)0是无穷小量，但无穷小量不一定是0。定理16九月20211例如,注1:无穷小是变量,不能与很小的数混淆;16九月202122、性质性质1有限个无穷小量之和、差、积仍是无穷小量；性质2无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；性质3无穷小量除以极限不为零的变量仍是无穷小量。例解无穷小量乘以有界变量16九月202133、比

2、较由无穷小量的性质，两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量，但对两个无穷小量的商结果就复杂得多，例如当x→1时f(x)=x-1、g(x)=x2-1、h(x)=(x-1)2都是无穷小量，但可以看出，两个无穷小量的商可能极限不存在，极限存在时可能等于零也可能不为零。极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.为方便，引入以下定义。16九月20214定义①A=0则称α是比β高阶的无穷小量，记为α=o(β);②A≠0则称α与β是同阶的无穷小量，记为α=O(β)；特别地当A=1时称α与β等价，记作α~β。例如x→1时，(x-1)2=o(x-1)，x2-1=O(x-1)。练习x→0时，高同高16九月20

3、215注①只有都是无穷小量时才能分阶；②比较时一定要说明在哪一种变化趋势下；③并非任意两个无穷小量都可以分阶；④阶的高低反映了无穷小量趋于零的速度。高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。16九月20216在无穷小量的比较中，无穷小量的等价最为重要，首先，无穷小量的等价满足反身性、对称性、传递性。而无穷小量的等价的应用主要反映在下面的定理：定理此定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可用等价无穷小来替换。适当替换可以简化极限的计算。注①应用时注意自变量的变化趋势；②只有在乘积时才能代换，加减时不可以；③加减时有时可分成两个极限计算，但分开后每个极限都要得出具体数值，不能再合

4、并。16九月20217例解练习答案备忘x→0时常用的等价无穷小量有16九月20218这里把3x当成一个整体，当x→-∞时它是无穷小量例在代换时我们关注的不是自变量是否趋于零，而是保证代换的那一部分(有时是自变量的表达式)必须是无穷小量。解练习答案16九月20219计算极限答案16九月202110二、无穷大量极限不存在包括两种情况：跳跃型(振荡型)和无限增大型。第二种极限称为无穷大，也就是说，若在自变量的某一变化趋势下，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为无穷大量。其精确定义如下：则称x→x0时f(x)为无穷大量，记作定义对x的其他变化趋势可类似定义。16九月202111注①无穷大量

5、是一个绝对值可以任意变大的变量,而不是一个很大的常量.当ƒ(x)取正值无限增大(取负值绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负无穷大量)，记为limf(x)=＋∞或limf(x)=－∞②式子limf(x)=∞只是一个记号，实际上f(x)的极限仍是不存在。③说一个量是无穷大量是要指明自变量的变化趋势。无穷大量和无穷小量的关系由下面的定理确定：定理在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量的倒数是无穷大量。因此，有关无穷大量的计算和分析证明可转化为对无穷小量的讨论。16九月202112例解由此对于0/0形式的有理分式的极限，利用消零法总可以得出结果：对分子、分母分解因式，约去公

6、因式直到代入时分子、分母至少一个不为零为止。若分子、分母都不为零，则得出非零极限值；若分子为零(分母不为零)，则函数为无穷小量；若分母为零(分子不为零)，则函数为无穷大量。16九月202113用A表示有极限的函数，K表示有界函数，C代表常数，总结出无穷小量和无穷大量的一些运算规律，大家看一看，有没有参考价值？16九月2021