韦达定理的灵活运用

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1、韦达定理的灵活运用摘要：“韦达定理”在初中教材中称为“一元于二次方程的根与系数的关系”，在求一元二次方程的参数的值或取值范围时有着重要的作用，同时也可以反过来构造一元二次方程，将非一元二次方程问题转化为一元二次方程，另辟蹊径，化难为易。关键词：韦达定理；根的定义；判别式；构造方程。一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为“韦达定理”。这是因为该定理是由16世纪法国最著名的数学家韦达发现的。韦达定理的内容是：若是一元二次方程的两个实数根，则有：。其简单的形式包涵了丰富的数学内容，深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的

2、重要组成部分。它应用广泛，灵活多样，妙趣横生，主要体现在以下几个方面：一、运用韦达定理，求不定方程中的参数的值或取值范围例：已知是一元二次方程的两个实数根，且，则m的取值范围为＿＿＿解析：运用韦达定理，可轻易的建立关于的不等式，解决问题；同时也要注意“△≥0”这个隐含条件的限制。二、运用韦达定理，求代数式的值例：已知是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值；解析：利用根的定义，有，，得到：，，可达到降次的目的。原式=，根据韦达定理：，所以原式=0。三、运用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号的特征在一元二次方程中，若△≥0，则有：（1）若B=0，则，则两根异号；(

3、2)若A=C，则，则两根互为倒数；（3）若，则两根同为负；（4）若，则两根同时为正；（5）若，则两根异号。例：已知关于X的一元二次方程的两个根满足，试求m的值及相应的。解析：易证无论m取任何值时，方程总有两个异号的实数根，由于≤0，则有≤0，≥0，或≤0，≥0，从而展开讨论，以达到去掉绝对值的目的，化难为易，解决问题。一、运用韦达定理，构造相应的一元二次方程，将问题转化为一元二次方程的相关问题。有时往往会达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果。例：1、已知实数满足，且，试求t的取值范围。解析：由两式相加可得：，进一步可求（t≥-3），则为一元二次方程的两个实数

4、根，由于△≥0，可得到t≤，即可得到-3≤t≤2、已知一元二次方程的两个实数根差的平方是17，试求m的值及相应的。解析：设方程的两个实数根为，根据韦达定理可得：，，解得：m=-4，解得：韦达定理是初中代数中的一个重要定理，通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。韦达定理在与代数，几何中的许多知识都可以有机地结合起来，巧妙地转化或简化问题，这也需要一定的对称分析和构造数学模型的能力，我们只有经过不断

5、的运用和尝试，才能敏锐地相关信息，在恰当的时候准确地运用韦达定理，发挥它的最大作用！参考文献：1、薛金星：《中学教材全解》2、毛新龙：《鼎新教案》3、钟志贤：《如何发展学习者高阶思维能力》4、谢景力：《数学概念的二重性及其对教学的启示》