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1、浅谈韦达定理的应用齐贤学校匡双霞【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”o历史上流传着一个有关韦达的趣事：冇一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弄了另外的22个负数解)。
2、消息传开，数学界为之震惊。同吋，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出來。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数Z间关系的韦达定理。你了解韦达定理吗？韦达定理：实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)存在实数解x.x2,那么X!+x2,x)x2=-o这是在初中时韦达定理的定义，但对于高中时应a°a用就更为广阔，由代数基本定理可推得：任何-•元n次方程在复数集小必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积，两端比较系数即得韦达定理，所以韦达定理在复数范围内同样适用。而対于高次方程，
3、韦达定理更有妙用。这里我们只谈谈在初高小时韦达定理的应用。在初中数学的学习屮，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用：1.已知一元二次方程的一根，求另一根。2.已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。3.不解方程，求关于两根的代数式的值。4.一元二次方程的验根。5.解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。6.与判别式的综合应用。【中考真题欣赏】例1(2001年河南省)已知关于x的方程4x'+4bx+7b二0有两个相等的实数根，yi,兀是关于y的方程于+(2-b)y+4二0的两个根,求以历，康为根的一元二次方程.解析・・•
4、关于x的方程4x?+4bx+7b二0有两个相等的实数根，・・・△=(4b)2-4X4X7b=0,即b2-7b=0./.bi=0,b2=7.当b二0吋,,关于y的方程化为y'+2y+4二0,因厶=4-16=-12<0,方程无解.当b=7时，关于y的方程可化为y2-5y+4=0,解得yi=4,y2=l.则丘+丘=3,历*康=2/.以丘,康为根的一元二次方程为y-3y+2=0.H评本题既考查了判别式，韦达定理的逆定理，乂考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视，应重视.例2(2001年四川省)已知x「X2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-l)x+m2=
5、0的两个非零实数根，问X】与x?能否同号？若能同号求出相应的ni的取值范围；若不能同号,请说明理由.解析・・•关于x的一元二次方程4xM(m-l)xW=0有两个非零实数根，・•・△二[4(ni-1)]2-4X4m2=-32m+16^0,・v12又Xl,X2是方程4x2+4(m-l)x+m2=o的两个实数根.・xi+x2=-(m-1),Xi•x2=—m24假设"X2同号，则有两种可能：①若Xi>0,x2>0,则X
6、+X?a0x,x2A0-(/??-1)>0,即1「—m~>0.〔4且mHO,此时,mW丄且mHO;2②若xKO,x2<0则有o>2771-4k而mW
7、丄时方程才有实数根，2・・・此种情况不可能.综上所述，当m的取值范围为mW丄且niHO时,方程的两实根同号.2点评：'存在性问题的探索一般是先假设存在，然后据已知和相关知识进行推理，若推理的结论与题设或概念、泄理、事实等相矛盾，则假设不成立,从而不存在，反之则存在.【难题妙解】例1：已知：①a+2a-l=0,②4241二0且l-ab'HO,求(少+1严的值。解析由①知1+2丄-亠二0,aa~即(丄尸-2•—-1二0,③由②知(b2)2-2b2-l=0,④・・・丄，X为一元二次方程x2-2x-l=0的两根.a由韦达定理，得丄+b~2,丄・甘二-1."+方+1二［
8、（丄+b2”兰］200彳二（2_1）2aa二1.aaa本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达赵理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1-abMO,而把a,-b2#作方程x2+2x-1=0的两根来求解.例2：LA知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求：(l)m为何值时，方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值吋，方程的两个根都是正数；(3)m为何值时，方程的两个根一个大于1,另一个小于1・解析(1)据题意知,m应当满足条件Fa=4m2-4(m+2)A0,①［x【X2=m+2Y0②即f(m-l)(m+1)>0,<—2.由①，
9、得m>2或m<-l,・：m<~2.(2
