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时间:2019-08-03
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1、根的判别式与韦达定理模块一根的判别式1、定义:运用配方法解一元二次方程过程中得到,显然只有当时,才能直接开平方得:.注:一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根.这里叫做一元二次方程根的判别式.2、判别式与根的关系在实数范围内,一元二次方程的根由其系数、、确定,它的根的情况(是否有实数根)由确定.设一元二次方程为,其根的判别式为:则①方程有两个不相等的实数根.②方程有两个相等的实数根.③方程没有实数根.练习:运用判别式,判定方程实数根的个数【例1】不解方程,判断下列方程的根的情况:(1);(2)()【巩固】不解方程,判别一元二
2、次方程的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定7【巩固】不解方程判定下列方程根的情况:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)【例1】已知,,是不全为0的3个实数,那么关于的一元二次方程的根的情况().A.有2个负根B.有2个正根C.有2个异号的实根D.无实根利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围【例2】取什么值时,关于的方程有两个相等的实数根【巩固】如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围是()A.B.C.D.【巩固】方程有两个不
3、相等的实数根,则的取值范围是【巩固】若关于的二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是【巩固】若关于的一元二次方程有实数根,则的最小整数值为【巩固】已知方程有实数根,求的范围.7【例1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.【巩固】关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围()【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实数根,化简:【巩固】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.【巩固】为何值时,方程有实数根.【例2】关于的方程有实数根,则整数的最大值是.【巩固】若方程有实数根,求:正整数.【例3】已
4、知关于的方程有两个相等的实数根,且、为实数,则________.【巩固】当为何值时,方程有实根?【例4】已知,,为正数,若二次方程有两个实数根,那么方程的根的情况是()A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号的实数根C.有两个不相等的负实数根D.不一定有实数根7【巩固】若方程只有一个实数根,那么方程().A.没有实数根B.有2个不同的实数根C.有2个相等的实数根D.实数根的个数不能确定通过判别式,证明与方程相关的代数问题【例1】对任意实数,求证:关于的方程无实数根.【巩固】求证:关于的一元二次方程有两个实数根.【巩固】已知实数、、、
5、、满足,,求证:一元二次方程必有实根.【巩固】证明:无论实数、取何值时,方程都有实数根【巩固】已知:方程没有实数根,且,求证:有两个实数根.模块二韦达定理如果的两根是,,则,.(隐含的条件:)特别地,当一元二次方程的二次项系数为1时,设,是方程的两个根,则,.利用韦达定理求代数式的值7【例1】不解方程,求两根之和与两根之积【巩固】设方程的两个根为、,不解方程求下列各式的值(1);(2);(3)【巩固】已知方程的两个根为、(1);(2);(3);(4)【巩固】已知、是方程的两根,求的值.利用韦达定理求参数的值【例10】方程有两个不相等
6、的实数根,则的取值范围是【例11】若、是方程的两个根,则【巩固】若方程的一个根为,则它的另一根等于,等于【巩固】关于的方程的一个根为,则另一个根是,【巩固】方程的两个根之比为,则【巩固】已知是方程的一个根,求另一个根和的值【例12】已知方程的两个根的平方和是,求的值。【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实根、,且,求的值7【巩固】设、是方程的两个不同的实根,且,则的值是____.【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实数根、(1)求的取值范围。(2)是否存在实数,使方程的实数根互为相反数?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由【例
7、13】是否存在常数,使关于的方程的两个实数根、,满足,如果存在,试求出所有满足条件的值;如果不存在在,请说明理由利用韦达定理构造一元二次方程【例14】已知两个数的和为,积为,求这两个数【巩固】以和为根,二次项系数为的一元二次方程为【巩固】求作一个一元二次方程,使它的两根分别是各根的负倒数若方程的一个根是另一个根的倍,则、、的关系是()A.B.C.D.【例15】方程没有实数根,那么的最小正整数值是【例16】一元二次方程中,,,,且7,则两个根的符号()A.同为正B.同为负C.一正一负D.同号【例17】如果方程的两个根的平方和等于,那么
8、【例18】若一元二次方程有两个相等的实数根,则【例19】已知实数和满足和,求的值【例20】已知、、是三角形的三边长,求证:没有实数根课后练习:1、关于的二次方程有两个实数根,求的取值范围2、已知方程的两个实数根是、,同时方程的两实数根
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