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1、近世代数测试题（A）一、填空题（每题3分，共30分）：1、设是集合到的满射，则 .2、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 .3、写出三次对称群的子群的一切左陪集 ， ， .4、设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 .5、设=是循环群，则与整数加群同构的充要条件是 .6、若环的元素(对加法)有最大阶,则称为环的 .7、若环满足左消去律，那么必定 (
2、有或没有)左零因子.8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是环的 .9、若域 ，则称是一个素域.10、设是域的一个扩域,.如果存在上非零多项式使,则称为上的一个 .二、选择题（每题4分，共20分）：1、指出下列哪些运算是代数运算（ ）.A.在整数集上， B.在有理数集上，C.在正实数集上， D.在集合上，2、设是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（ ）.A.的单
3、位元的象是的单位元 B.的元素的逆元的象是的象的逆元C.的子群的象是的子群 D.的正规子群的象是的正规子群3、下列正确的命题是（ ）.A主理想整环必是欧氏环 B.欧氏环一定是唯一分解整环C.唯一分解整环必是主理想整环 D.唯一分解整环必是欧氏环4、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（ ）A. B.C. D.5、下列不是循环环的单位的是（ ）.A. B.5
4、 C.7 D.2三、证明题（每题10分,共50分）：1、设为实数且，并规定证明：对此运算作成一个群.2、证明:9在有单位元的整环 中不能惟一分解.3、设是偶数环.证明:1);2)是否成立?为什么?是由哪个偶数生成的主理想?4、设是群到群的一个同态满射,又,,证明:.5、设6阶群G不是循环群，证明：G.近世代数测试题（A）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）:1、 2、 3、或,或,或4、 5、或 6、特征(或特征数) 7、没有8、一个极大理想
5、 9、不含真子域 10、代数元二、选择题（每题4分，共20分）:1、D 2、D 3、B 4、D 5、D三、证明题（每题5分,共50分）:1、证明:显然是非空集合上的代数运算.,则有即,对此运算满足结合律.又,即是的左单位元;又,有且,即是在中的左逆元.因此,对此运算作成一个群.2、证明:首先易知,中的单位是.其次,若,则必是环的不可约元.事实上,若是的任一因子,则有,使,故或.但不可能,故只有或.当时,是可逆元;当时,与相伴.因此,只有平凡因子,即是不可约元.故,是的不可约
6、元.但,而且又不与中的任一个相伴,即9不能惟一分解. 3、证明:1),则,于是.再任取,由知,.故.2)不成立.因为,例如,但.事实上,.即是由8生成的主理想.4、证明：方法(一):因为,是满同态，故.令.下证是商群到的一个同构映射. 1)是映射:设,则.因是同态满射,故.从而,即是商群到的一个映射. 2)是满射:,因是同态满射,故有使.从而在之下有逆象,即是满射.3)是单射:设,则.因是满射,故有使,其中是的单位元.于是故.从而,即是单射.又显然在之下有,故是商群到的一个同构映射.因此.方
7、法(二):利用群同态基本定理因为,是满同态，故.设是群到商群的映射. 因为又是满射(因是满射),故是群到商群的满同态映射. 又,据群同态基本定理,.5、证因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.除外G中元素不能都是2阶元：若不然，G为交换群.于是在G中任取互异的2阶元，则易知.这与Lagrange定理矛盾.又除外G中元素不能都是3阶元：若不然，则在G中任取3阶元，可知G有子群，且.于是,这与矛盾.因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：，且易知是G到的一个同构
8、映射，故G.
