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时间：2019-07-04
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1、常系数第五节齐次线性微分方程第五章一、二阶常系数齐次线性方程解法二、n阶常系数齐次线性方程解法一、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有(r为待定常数),和它的导数只差常数因子,①②称②为微分方程①的特征方程,其根称为特征根.n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为(u(x)待定)有一对共轭复根得齐次方程的通解为特征根为这时原方程有两个复数解:根
2、据欧拉公式利用解的性质可得原方程的线性无关特解:定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征根法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性齐次微分方程.二、n阶常系数齐次线性方程通解特征方程为特征方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.例3的通解.解特征方程特征根:因此原方程通解为例4解特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解特征根
3、为故所求通解为解特征方程为例5作业P384 1(3)2(1)(2)(3)3(1)(3)(5)4三、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)思考题求微分方程的通解.思考题解答令则特征根通解
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