《D118常系数非齐次》PPT课件

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1、常系数非齐次线性微分方程机动目录上页下页返回结束第八节一、二、第十一章三、欧拉方程二阶常系数非齐次线性微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法机动目录上页下页返回结束一、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,可设为m次多项式.机动目录上页下页返回结束(2)若是特征方程的单根,即可设(3)若是特征方程的重根,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即机动目录上页下页返回结束可设综

2、上讨论例1.的一个特解.解:特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束其根为解：对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例2.机动目录上页下页返回结束例3.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束例4.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根

3、）写出微分方程的待定特解的形式.例5.解:机动目录上页下页返回结束利用欧拉公式机动目录上页下页返回结束二、欧拉公式机动目录上页下页返回结束上述结论也可推广到高阶方程的情形.例6.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束其根为例7.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束例8.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理

4、,可设非齐次方程特解为求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．三、欧拉方程形如的方程，叫做欧拉方程.求解基本思想欧拉方程常系数线性微分方程机动目录上页下页返回结束欧拉方程的解法:则计算繁!机动目录上页下页返回结束则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:机动目录上页下页返回结束例9.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①机动目录上页下页返回结束①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得机动目录上

5、页下页返回结束例10.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为机动目录上页下页返回结束例11.解:由题设得定解问题③则③化为特征根:设特解:④⑤代入⑤得A＝1机动目录上页下页返回结束得通解为利用初始条件④得故所求特解为机动目录上页下页返回结束内容小结则设特解为则设特解为机动目录上页下页返回结束3.欧拉方程思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)设机动目录上页下页返回结束2.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程

6、得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动目录上页下页返回结束