《D78常系数非齐次》PPT课件

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1、高阶非齐次线性微分方程机动目录上页下页返回结束第八节三、二阶常系数非齐次线性微分方程一、通解的结构二、通解的求法四、欧拉方程五、应用举例一、通解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理8.1则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①复习目录上页下页返回结束是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.机动目录上页下页返回结束定理8.2分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理8.1,定理8.2均可推广到n

2、阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束定理是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束常数变易法常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为代入原方程确定对二阶非齐次方程情形1.已知对应齐次方程通解:设③的解为③由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④机动目录上页下页返回结束二、通解的求法⑤令于是将以上结果代入方程①:得⑥故⑤,⑥的系数行列式是对应齐次方程的解P10目录上页下页返回结束积分得:代入③即得非齐次方程的通解:

3、于是得说明:将③的解设为只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.机动目录上页下页返回结束情形2.仅知③的齐次方程的一个非零特解代入③化简得设其通解为积分得(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:代入③目录上页下页返回结束例8.1求非齐次线性微分方程的通解.解：对应齐次方程特征方程为特征根为于是对应齐次方程的通解为设所给方程的通解为这是确定C1(x),C2(x)的方程组为设所给方程的通解为三、二阶常系数线性非齐次微分方程根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x

4、)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法机动目录上页下页返回结束一、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束例8.2求方程的一个特解.解：是二阶常系数

5、非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于λ=0不是特征根，故所给方程特解为设所给方程的一个特解为将它带入所给方程得例8.3求方程的通解.解：是二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于λ=2是单特征根，故所给方程特解为设所给方程的一个特解为将它带入所给方程得对应齐次方程的通解为n阶常系数非齐次微分方程的一般形式为若则上述方程具有形如的特解，其中Qm(x)是与Rm(x)同次的多项式，而k按λ不是特征根和是r重根分别取0和r.例8.5求方程的通解.解：是四阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于λ=0是二重特征根，

6、故所给方程特解为所给方程的一个特解为将它带入所给方程得对应齐次方程的通解为二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束第一步利用欧拉公式将f(x)变形机动目录上页下页返回结束第二步求如下两方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:机动目录上页下页返回结束第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程均为m次多项式.机动目录上页下页返回结束第四步分析因均

7、为m次实多项式.本质上为实函数,机动目录上页下页返回结束例8.6求方程的通解.解：二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于不是特征根，故所给方程特解为于是所给方程的一个特解为带入所给方程得对应齐次方程的通解为例8.7求满足的特解.解：二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为由于是单特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为带入所给方程得对应齐次方程的通解为由初始条件得C1=0,C2=1,例8.8(RLC电路)在一个由电阻R,电感L,电容C和电源E组成的闭合回路中(如图)，电源电动势E=100sin60t(V)，

8、电阻R=2(Ω)，电感L=0.1(H)，电容C=1/260(F).如果开始时电路中的电流为零，电容器上的电荷量为零，求该电路接通后电容器上的电荷量随时间的变化关系.解：设时刻t该回路中的电流为I(t)，电容器上的电荷量为Q(t).有基