《D117常系数齐次》PPT课件

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1、常系数机动目录上页下页返回结束第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第十一章一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式机动目录上页下页返回结束代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此齐次方程的通解为(r为待定常数),①设②则微分其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程

2、的重根取u=x,则得因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:机动目录上页下页返回结束例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束解:所给微分方程的特征方程为它有一对共轭复根故所求通解为机动目录

3、上页下页返回结束三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项机动目录上页下页返回结束注意:n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.机动目录上页下页返回结束例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广目录上页下页返回结束例6.解:特征方程:即其根为方程通解:机动目录上页下页返回结束例7.解:特征方程:特征根为则原方程通解为:机动目录上页下页返回结束内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性

4、齐次方程求通解.机动目录上页下页返回结束思考与练习1.求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第七节目录上页下页返回结束为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为机动目录上页下页返回结束作业P4511(1),(3),(5);2(1),(2)第七节目录上页下页返回结束