大学物理.刚体力学中南大学教学

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1、一、刚体的平动和转动刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.特点：各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。第二章刚体和流体力学2-1刚体运动学平动：用质心运动讨论转动：对点、对轴定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。OO’转轴刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动转动平面转轴参考方向各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。二、定轴转动的角量描述转动平面：垂直于转轴的任一

2、平面角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。加速转动方向一致减速转动方向相反2-2刚体定轴转动的转动定律转动平面一、刚体定轴转动的力矩力对点的力矩为：只影响转轴的转动在轴上的投影对轴的力矩：（在轴上的分量）问题：？转动平面力对轴上任一点的力矩在轴上的投影即是力对该轴的力矩。将切向分量式两边同乘以,变换得二、定轴转动的转动定律大小相等，方向相反令：为转动惯量定轴转动的转动定理物理意义：刚体做定轴转动时，所受到的合外力对轴的力矩等于刚体对同一转轴的转动惯量与角加速度的乘积。讨论：⑴瞬时式，⑵，必须是对同一转轴⑶与转动方向

3、成右手系⑷矢量表达式为：三、转动惯量(momentofinertia)1、定义质量与该点到转轴距离的平方的乘积。与转动惯量有关的因素：刚体的质量质量的分布转轴的位置单位：质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。注意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：细圆环R又解:J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。2、求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。

4、轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。3、求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为其体积：其质量：其转动惯量：YXZORrdZZYXZORrdZZ4、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标dm=dx2、平行轴定理前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2

5、。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。这个结论称为平行轴定理。右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）四、转动定律应用举例例1、一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。解：例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0

6、秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求闸瓦对轮子的压力N为多大？0解：飞轮制动时有0Nfr外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。代入数据：解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，该质量元的重力对轴的元力矩为Ogdmdm例3、一根长为、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。重力对整个棒的合力矩为Ogdmdm代入转动定律，可得两边积分，例4、一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通

7、过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为µ,求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环积分。o水平桌面rdr故摩擦力矩为于是得由=o+t=0得又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为o水平桌面rdr比较：一、刚体的转动动能刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。2-3刚体定轴转动中的动能定理设物体在力F作用下,绕定轴oz转动，力的作用点

8、P位移大小为ds=rd,则力F的元功是dW=Fdscos(90o-)=Frsind=Md即:力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘积。当刚体由角1转到2时,力矩所作的功为力矩的功率是二、力矩的功即力矩的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。ZFdsdopr三、刚