《导数的应用问题》PPT课件

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1、第4章导数的应用问题§1中值定理设函数y=f(x)在点x0的某个邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于x0的x值,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))则称函数f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),而x0称为函数f(x)的极大点(或极小点)函数极值的概念极大值和极小值统称为函数的极值.极大点和极小点统称为函数的极值点.费马(Fermat)定理如果x0是函数f(x)的极值点,并且f(x)在该点可导,则f(x0)0(逆命题不一定成立)例如,函数y=x2+1,x=0是y的极值点,且f’(x)=2x,f’(0)=0例如,函数y=x3,f

2、’(x)=3x2,f’(0)=0,但x=0不是y的极值点函数驻点的概念使导数f’(x)为零的点称为f(x)的驻点或稳定点可导的极值点是驻点,但驻点不一定是极值点.拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数yf(x)满足(1)在闭区间[ab]上连续;(2)在开区间(ab)内可导,那么在(ab)内至少存在一点x使得f(b)-f(a)=f(x)(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数yf(x)满足(1)在闭区间[ab]上连续;(2)在开区间(ab)内可导,那么在(ab)内至少存

3、在一点x使得f(b)-f(a)=f(x)(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数yf(x)满足(1)在闭区间[ab]上连续;(2)在开区间(ab)内可导,那么在(ab)内至少存在一点x使得f(b)-f(a)=f(x)(b-a)拉格朗日中值公式在区间I上任取两点x1x2(x1

4、此f(x)在区间I上是一个常数推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那么f(x)在区间I上是一个常数证明应注意的问题：如果定理的三个条件有一个不满足则定理的结论有可能不成立罗尔(Rolle)定理如果函数yf(x)满足(1)在闭区间[ab]上连续;(2)在开区间(ab)内可导;(3)f(a)f(b),那么在(ab)内至少存在一点x使得f(x)0罗尔(Rolle)定理如果函数yf(x)满足(1)在闭区间[ab]上连续;(2)在开区间(ab)内可导;(3)f(a)f(b),那么在(ab)内至少存在一点x使得f(x)

5、0§3.2洛必达法则还有其它类型的未定式0、、00、1、0未定式在函数商的极限中,如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大那么极限可能存在也可能不存在这种极限称为未定式,记为未定式举例下列极限都是未定式(0型)(00型)(1型)(0型)(型)(型)(型)如果函数f(x)和g(x)满足如下条件(1)f(x)和g(x)都是当xa时的无穷小(2)f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0洛必达(L’Hospital)法则(应用于那么型不定式)注：当x∞时，相应法则仍成立。例解例解例解如果函数f(x

6、)和g(x)满足如下条件(1)f(x)和g(x)都是当xa时的无穷大(2)f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0洛必达(L’Hospital)法则(应用于那么型不定式)解例解例例解例解例解1.解极限不存在洛必达法则失效.思考题:以下解法对否?注意：洛必达法则的使用条件．2.解1.解思考题:以下解法对否?2.解注意：洛必达法则的使用条件．§3函数的单调性、极值、最大值和最小值3.1函数单调性的判定法3.2函数的极值3.3函数的最大值和最小值f(x)>0f(x)<0观察结果函数单调增加时导数大于零函数单调减少时导数小于零观

7、察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数单调性的判定法导数符号的几何意义：导数为正，曲线上升，导数为零，曲线不升不降，导数为负，曲线下降定理设函数f(x)在(a,b)内可导，则该函数在区间(ab)内单调增加（单调减少）的充要条件是：f(x)≥0（f(x)≤0),x∈(a,b),而f(x)=0只在个别点处成立例如：y=x3,y'=3x2≥0,所以x3在（-∞，+∞）内单调增加。推论（充分性）若函数f(x)在某区间(a,b)内的导数为正（或为负），即f(x)>0（或f(x)<0),则函数f(x)在该区间内单调增加（或单调减少）用导数求函

8、数单调区间的方法①求驻点，将区间分解为几个子区间②对每一个子区间