高二数学选修1、1-2充分条件与必要条

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1、1．2充分条件与必要条件1．知识与技能理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．2．过程与方法会具体判断所给条件是哪一种条件．本节重点：充分条件、必要条件、充要条件的判定．本节难点：判定所给条件是充分条件、必要条件，还是充要条件．本节内容比较抽象，在学习中应注意以下几个方面：1．学习本节内容要多从分析实例入手理解概念，利用集合的观点加深理解．2．(1)从不同角度，运用从特殊到一般的思维方法，归纳出条件与结论的推出关系，建立充分条件、必要条件的概念．(2)要判断充分条件、必要条件，就是利用已有知识，借助代数推理的方法，判断p是否推出q，q是否推出p.1．从逻辑关系上，关于充

2、分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判定：条件p与结论q关系结论p⇒q，但qpp是q成立的充分不必要条件q⇒p，但pqp是q成立的必要不充分条件p⇒q，q⇒p，即p⇔qp是q成立的充要条件Pq，qpp是q成立的既不充分也不必要条件2.从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判定：首先建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x

3、p(x)}，q：B＝{x

4、q(x)}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，

5、q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3.一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．4．充要条件的传递性若A⇒B，B

6、⇒C，C⇒D，则A⇒D，即A是D的充分条件，利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系．5．充要条件的证明证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明命题“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．注意：(1)在分析p与q的关系时，要考查“p⇒q”和“q⇒p”两个方面后，才能下结论，比如仅有“p⇒q”成立时，则既可能p是q的充分不必要条件，也可能p是q的充要条件．(2)在分析p与q的关系时，要分清p与q的前后顺序及判断对应的方向．1．当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作，读作.2．如果p⇒q，则p叫

7、做q的条件．3．如果q⇒p，则p叫做q的条件．4．如果既有p⇒q成立，又有q⇒p成立，记作，则p叫做q的条件．5．如果p⇔q，那么p与q互为条件．p⇒qp推出q充分必要p⇔q充要充要[答案]A[点评]1.判断p是q的什么条件其实质是判断“若p则q”及其逆命题“若q则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题、逆命题均为假，则p是q的既不充分也不必要条件．2．判断p是q的什么条件，应掌握几种常用的判断方法．(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法；(4)传递法．有时借助数轴、韦恩图、集合等知

8、识形象、直观的特点或举反例，赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果．(2010·上海文，16)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[例2]设a，b，c为△ABC的三边，求证：x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.[分析]由题目可获取以下主要信息：①a，b，c为△ABC的三边．②求证两方程有公共根的充要条件是∠A＝90°.解答本题可先证明充分性，再证明必要性．[证明]充分性：∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2，于是

9、方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，∴该方程有两个根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，同样，另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即x2＋2cx－(a－c)(a＋c)＝0，∴[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，∴该方程有两个根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)，可以发现x1＝x3，∴这两个方程有公共根．必要性：设β是两方程的公共根，由①＋②得：β＝－(a＋c)或β＝0(舍去)，将