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1、第一节多元函数一、空间解析几何简介二、多元函数的概念三、二元函数的极限与连续第四章多元函数微积分横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系一、空间直角坐标系过空间一点引三条两两相互垂直的数轴,就构成空间直角坐标系.三个坐标轴的正方向符合右手系.即当右手的四个手指从轴正向转过的角度指向轴正向时，大拇指所指的方向就是轴的正向.这三个坐标平面将空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限.每两个坐标轴所在的平面、 、 称为坐标平面.如下图所示:Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点一一对应空间两点间
2、距离空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为解设与二定点A和B等距离的点为例4-1求与二定点和等距离的点的轨迹方程.依题意所以化简,得由平面直角坐标系中的直线方程,可以类似地推到空间直角坐标系中的平面的一般方程为球面方程在空间与一定点的距离为一定值的点的轨迹称为球面.设为球面上的任意一点，则因此球面方程为即特别,当球心在原点时,球面方程为常见的曲面方程圆柱面椭圆抛物面.xzy0双曲抛物面（马鞍面）圆锥面观察两个例子例4-3一定质量的理想气体,它的压强P和体积V、绝对温度T之间的关系是（其中R是比例常数）这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关
3、系.二、多元函数的概念例4-2病人在进行补液时,补液量N与正常血容量V、正常红细胞比容(单位容积血液中红细胞所占容积百分比)A及病人红细胞比容B的关系为类似地可定义三元函数其中 、为自变量, 为因变量,点集称为函数的定义域.二元及二元以上的函数称为多元函数.元函数记为定义4-1设有三个变量 、、, 是 平面上的一个点集.如果对于任意点 ,变量 按照一定的法则总有唯一确定的值和它对应,则称变量 是变量 、 的二元函数,记作例4-4求的定义域.解所求定义域为自变量的取值范围称为函数的定义域.无界开区域解所求定义域为例4-5求的定义域.有
4、界闭区域解要使函数有意义,必须同时满足例4-6求的定义域.所求定义域为有界闭区域二元函数的图形设函数的定义域为，对于任意取定的，对应的函数值为，这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点，当取遍上一切点时,得到一个空间点集这个点集称为二元函数的图形.注意：二元函数的图形通常是一张曲面.三、二元函数的极限与连续定义4-2设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外).如果当沿任何路径趋近于时，函数无限趋近于一个常数,则称当时,以为极限，记作（2）定义中的方式是任意的.注意(1)二元函数的极限运算法则与一元函数类似;1.二元函数的极限或例
5、4-7求极限多元函数的极限可以应用一元函数求极限的法则解例4-8证明解因为又因为所以例4-9证明不存在．当k取不同的值时,所得的值不同证明当沿曲线趋于时所以不存在．2.二元函数的连续性定义4-3如果二元函数满足则称函数在点处连续.(1)在点及其邻域内有定义(2)极限存在(3)如果在区域D内的每一点都连续,则称函数在区域D内连续.函数的不连续点叫做间断点.例4-10讨论函数在(0,0)的连续性．所以函数在(0,0)处间断．因为不存在．解例4-11求函数的间断点.解函数在圆周上函数没意义,所以圆周上的点都是函数的间断点.二元初等函数：由二元多项
6、式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数与一元函数类似,关于二元函数的连续性有以下结论:(1)有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数;(2)在分母不为零处,连续函数的商仍为连续函数；(3)连续函数的复合函数也是连续函数;(4)二元初等函数在其定义域内是连续的.3.二元函数的极限4.二元函数的连续性2.二元函数的定义主要内容1.空间解析几何简介
