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1、第1讲 函数及其表示从近两年高考试题来看，本节内容主要考查分段函数求值及应用问题，题型多以选择题、填空题为主，难度稍低，着重考查学生对函数的理解能力及运算能力．一、函数与映射的概念由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A,B必须是非空数集.二、函数的有关概念1．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．函数的三要素：、和．三、函数的表示方法表示函数的常用方
2、法有：、和．四、分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．x的取值范围A函数值的集合定义域值域对应关系解析法列表法图象法对应关系并集并集考向一函数的基本概念例1[答案]④2.设集合M={x
3、0≤x≤2}，N={y
4、0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②解析由映射的定义，要求函
5、数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.C1．分式函数中分母．2．偶次根式函数被开方式.3．一次函数、二次函数的定义域均为R.4．y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.5．y＝tanx的定义域为．6．函数f(x)＝x0的定义域为．7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．不等于零大于或等于0{x
6、x≠0}8、已知函数f(x)的定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只需.9、已知函数f[g(x)]的定义域为D,求函数f(x)的定义
7、域,只需要求g(x)∈D.g(x)的值(x∈D).函数的定义域-------常见基本初等函数的定义域例22.(1)已知f(x)的定义域是[0,4],求①f(x2)的定义域;②f(x+1)+f(x-1)的定义域.(2)已知f(x2)的定义域为[0,4],求f(x)的定义域.解(1)∵f(x)的定义域为［0,4］,①f(x2)以x2为自变量,∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2,故f(x2)的定义域为［-2,2］.抽象函数定义域问题②f(x+1)+f(x-1)以x+1,x-1为自变量,于是有∴1≤x≤3.故f(x+1)+f(x-1
8、)的定义域为［1,3］.(2)∵f(x2)的定义域为［0,4］,∴0≤x≤4,∴0≤x2≤16,故f(x)的定义域为［0,16］.二、基本初等函数的值域1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是.2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．3．y＝(k≠0)的值域是．4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是．5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.6．y＝sinx，y＝cosx的值域是．7．y＝tanx的值域是.R{y
9、y≠0}{y
10、y>0}[－1,1]R题型二函数的值域【例2】求下
11、列函数的值域.解(1)∵对称轴x=∈[-1,3],∴函数在x=处取得最小值，即=结合函数的单调性知函数在x=3处取得最大值,即=26.∴函数的值域为[,26],∴在[0,+∞)上，是减函数,∴故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1].(2)令∴∵二次函数对称轴为t=-当且仅当，即时等号成立，原函数的值域为6.数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，形如，可联想两点与连线的斜率。7.函数的有界性法形如y=，可用y表示出sinx，再根据，解关于y的不等式，求出y的取值范围8.导数法设y=f
12、(x)的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值或最小值9、分离常数法函数解析式的求法(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________；换元法，设t=g(x),解出x,代入f［g(x)］，得f(t)的解析式即可拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝________；解：设f（x）=ax+b（a≠0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax
13、+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f（x）；待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根据特殊值，确定相关的系数即可探究提高求函数解析式的常用方法有:
