多元函数的基本概念及性质ppt课件.ppt

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1、推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用在点的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,第一节一、平面点集三、多元函数的概念四、多元函数的极限五、多元函数的连续性二、n维空间多元函数的基本概念及性质一、平面点集1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为因为方邻域与圆邻域可

2、以互相包含.。2.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集E

3、E,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域二、n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为

4、空间中的称为该点的第k个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.的距离记作中点a的邻域为规定为与零元O的距离为三、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球二元函数的几

5、何意义研究单值函数二元函数的图形通常是一张曲面.如球面等四、多元函数的极限定义2.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切说明(1)定义中(2)二元函数的极限也叫(doublelimit)的方式是任意的；二重极限.(3)可推广到n元函数.例1+.设求证：证:故总有要证例2+.设求证：证：故总有要证若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值

6、不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.讨论函数函数如果，存在，则有：----（g连续）仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例4知它在(0,0)点二重极限不存在.例4求：解:这里的定义域为D={(x,y)

7、x≠0,yR}点P0(0,2)为D的聚点．由极限运算法则得解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故例5+五、多元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此

8、时称为间断点.则称n元函数连续.连续,例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)例6.求解:函数是初等函数，因D不是连通的，故不是区域．但是区域，且所以D1是f(x,y)的一个定义区域．因f(x,y)在D1上连续,故．它的定义域为解:原式例7.求例8+.求函数的连续域.解:内容小结

9、1.区域邻域:区域连通的开集2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函